2013 期中小考

這是 2013 年臺北醫學大學牙醫系公衛系保健系的微積分第一次平時考解答。

,未善用電子白板,所以不是很完整。

線性回歸

第 1 題

In a study of five industrial areas, a researcher obtained these data relating the average number of units of a certain pollutant in the air and the incidence (per 100,000 people) of a certain disease:

Units of pollutant3.44.65.28.010.7
Incidence of disease4852587096

Find the equation of the least-squares line y = Ax + B (to two decimal points places.)

Given that and .
試算表
x y x2 xy
3.4 48 11.56 163.2
4.6 52 21.16 239.2
5.2 58 27.04 301.6
8 70 64 560
10.7 96114.491027.2
31.9324238.252291.2

把這些總和代入公式。

為了避免捨入誤差,我先化簡分式。作答只須估算即可,畢竟題目只要求小數點後二位。

導函數

第 2 題

Use the definition of the derivative to find .

代入題目給的定義。

和角公式如下。

所以

這帶我們回到二個經典的極限問題。

答題時不須證明,可直接代入。

切線與法線

第 3 題

Find the equation of the tangent line and the normal line of the curve x2y3 + xy = 10 at (1, 2).

首先,(1, 2) 的確滿足 x2y3 + xy = 10

我們將這個關係進行對 x隱微分,即在 (1, 2) 附近將 y 視為 x 的函數。

3x2y2y′ + 2xy3 + xy′ + y = 0

(3x2y2 + x) y′ + 2xy3 + y = 0

將 (1, 2) 代入。

13 y′ + 18 = 0

所以圖形在 (1, 2) 處的斜率為 -18/13,因此切線為通過 (1, 2) 且斜率為 -18/13 的直線。此直線的方程式為

因為直角三角形的母子相似,法線斜率為 13/18,它的方程式是

函數圖形

第 4 題

Sketch the graph of f(x) = 6x5 − 5x3 and also find the relative extreme points and inflection points.

多項式是光滑函數,局部極值只會出現在平坦處,即導數為 0 之處。因此首先我們找出所有平坦處以簡化問題。此外,這個函數是奇函數,省去了一些繪圖的麻煩。

f′(x) = 30x4 − 15x2

顯然平坦處出現在 0 與 三處。我們再進行高階導數測試

f″(x) = 120x3 − 30x

f‴(x) = 360x2 − 30

由於 f″(0) = 0f‴(0) < 0,所以此處為嚴格遞減的反曲點。同理,,所以此處為局部極小值。在 處則為局部極大值。

多項式的圖形的反曲點出現在導函數的極值,故只會出現在二階導數為 0 之處。因此我們找出所有這些地方,即 x = 0 或 x = ±1/2。我們討論過 x = 0 的狀況了。因為 f‴(1/2) = f‴(-1/2) < 0,所以也是嚴格遞減的反曲點。

類型準確值估計值其他特徵
極大值(-0.7071067811865475, 0.7071067811865475) 
反曲點(-1/2, 7/16)(0.5, -0.4375)嚴格遞減
反曲點(0, 0)(0, 0)平坦、嚴格遞減
反曲點(1/2, -7/16)(0.5, -0.4375)嚴格遞減
極小值(0.7071067811865475, -0.7071067811865475) 

此外,為了精準的手繪圖形,我們還需要解出函數的根。本題為特殊的五次函數,碰巧可以求解析解。

6x5 − 5x3 = x3 (6x2 − 5)

可見根在 0 及 。為了繪圖,我們計算近似值。

6x5 − 5x3 的圖形

線性近似

第 5 題

Use the differentials to approximate the quantity to four decimal points places.

我們知道 ,這很適合作為近似的起點。設 ,則

線性近似告訴我們

f(x) ≈ f(a) + f′(a) (xa)

代入題目的函數。

我們開始進行迭代

f(0.089) ≈ 0.3 + f′(0.09) (0.089 − 0.09)

為了避免捨入誤差,我先化簡分式。作答只須估算即可。小數點後四位已無變化,因此

牛頓法

第 6 題

Use Newton’s method to find the real root r of f(x) = x3x − 1 to two decimal points places, given that initial point x0 = 1.5.

牛頓法的迭代公式如下。

代入題目的函數。

進行迭代,直到小數後二位不變為止。

nxn
01.5
11.347826086956522
21.325200398950907
31.324718173999054

所以

x ≈ 1.32

作者: 何 震邦

我叫何震邦,目前就讀臺北醫學大學醫學系。在漢字不宜的場合,我也叫 Chen-Pang He。各位看倌可以在 FacebookGoogle+ 找到我。詳細資訊請洽本站的《關於》頁面。

2013 期中小考 有 “ 4 則迴響 ”

  1. 助教你好
    我想請問〈第一次平時考解答〉的第 6 題
    前半部我看懂了
    但後面的迭代我不太了解
    n = 1 後面的 1.347826086956522 是怎麼來的??
    如同接下來的 n = 2, n = 3 ….

    1. 迭代法

      迭代法從初始估計 x0 出發,尋找一系列的近似解。數學上一般較喜歡決定性直接法,例如一元二次方程的解以及高斯消去法等。但是在直接法不存在,或者直接法太慢,就會採用迭代法。

      [例如質數測試中使用的米勒–拉賓質數檢驗不是決定性演算法,而是隨機演算法。但它比目前已知最快的直接法 AKS 質數測試 快上許多。]

      迭代法通常有個迭代函數 f,並藉由規定

      xn+1 = f(xn)

      動態生成序列。數學家只要證明若極限收斂則

      \[ \lim_{n \to \infty} x_n = x \]

      其中 x 為真確解,這個演算法即可安心使用。

      [可安心使用是因為這個演算法遞迴可枚舉,或曰半可判定。簡言之,當演算法成功,解答必正確;但演算法可能失敗。]

      牛頓法

      牛頓法是一種求根演算法。對於函數 f,我們希望找到一個 x 使得 f(x) = 0。我們知道

      f(x0) = (x0x) f′(x0)

      所以迭代公式為

      \[ x_{n+1} = x_n – \frac{f \left( x_n \right)}{f’ \left( x_n \right)} \]

      一般而言,牛頓法是平方收斂;然而牛頓法有時會失敗

      本題狀況

      我們希望得到解的小數點下二位。依牛頓法得到迭代式為

      \[ x_{n+1} = \frac {2 x_n^3 + 1} {3 x_n^2 – 1} \]

      n 為 0,得

      \[ x_1 = 1.5 – \frac {2 \cdot 1.5^3 + 1}{3 \cdot 1.5^2 – 1} = \frac{31}{23} \]

      接著我們繼續設 n 為 1 就能得到 x2。什麼時候停下來呢?因為本題沒有踩到地雷,所以一旦收斂,必是二次收斂。算到 x3x2 的小數點下二位一樣,就可以停止了。因為 |x3x2| ≈ 4.8 × 10-4,可以想見 |xx3| 實在小到無法影響小數點下二位。

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