2012 期中考

這裡包含了 2012 年臺北醫學大學牙醫系公衛系保健系醫管系的微積分期中考。因題目大同小異,故合併為一篇文章。公衛、保健二系採用同一份考卷。

第一題考線性回歸,同 2013 小考的第一題

,串場的文件是〈指數函數〉。

導函數

第 2 題

Given f(x) = x3 − 3x2 + 3, use the definition to find f′(x).

代入題目給的定義。

為了簡化計算,讓同次項分別相減,最後再總和。

(x + h)3x3 = 3x2h + 3xh2 + h3

(x + h)2x2 = 2xh + h2

切線與法線

公、保、管第 3 題

Find the equation to the tangent of the curve (x2 + 3) (x − 3)1/2 at x = 4.

牙醫系第 3 題

… at x = 5.

f(x) = (x2 + 3) (x − 3)1/2,則

我們知道 f(4) = 19f′(4) = 35/2,所以此處的切線方程式為

同理,,所以此處的切線方程式為

牙醫系第 7 題

Find the equation of the tangent line to the curve x2 + 3xy + y2 = 5 at (1, 1).

公、保、管第 7 題

… the normal line ….

首先,(1, 1) 的確滿足 x2 + 3xy + y2 = 5。我們對 x 隱微分。

2x + 3y + 3xy′ + 2yy′ = 0

代入 (1, 1)。

5 + 5y′ = 0

所以圖形在此處的斜率為 -1。切線方程式為

y − 1 = -(x − 1)

法線的斜率為 1,所以方程式為

y − 1 = x − 1

導數、二階導數

公、保、管第 4 題

Consider a curve . Find f′(5).

牙醫系第 4 題

… and f″(5).

公、保、管第 6 題

Given f(x) = 2x2+1, find f′(2).

y = x2 + 1,由鏈式法則

因為

所以

f′(x) = (ln 2) x 2y+1 = (ln 2) x 2x2+2

f′(2) = 128 ln 2

牙醫系第 6 題

Given f(x) = ln(sec4(x) tan2(x)), find f′(π/4).

f′(x) = y′ / y

再由乘法法則

y′ = 4 sec4(x) tan3(x) + 2 sec6(x) tan(x)

f′(π/4) = 8

函數圖形

第 5 題

Sketch the graph of and also find the relative extreme points and inflection points at the interval of [-1, 1].

多項式是光滑函數,局部極值只會出現在平坦處,即導數為 0 之處。因此首先我們找出所有平坦處以簡化問題。此外,這個函數是奇函數,省去了一些繪圖的麻煩。

平坦處出現在 0 與 ±2 三處,只有 0 在 [1, -1] 內。我們再進行高階導數測試

由於 f″(0) = 0f‴(0) < 0,所以此處為嚴格遞減的反曲點。

多項式的圖形的反曲點出現在導函數的極值,故只會出現在二階導數為 0 之處。因此我們找出所有這些地方,即 x = 0 或 ,只有 0 在 [1, -1] 內且這個點已討論過是反曲點。

的圖形

線性近似

公、保、管第 8 題

Use the differentials to approximate the quantity to two decimal points places.

牙醫系第 8 題

….

這附近看來沒什麼有希望的點,只好先遷就 嘍!設 ,則

線性近似告訴我們

f(x) ≈ f(a) + f′(a) (xa)

代入題目的函數。

f(5.6) ≈ 2 + f′(4) (5.6 − 4)

小數點後三位已無變化,所以

同理,

小數點後三位已無變化,所以

應用題

牙、公、保第 9 題

When a person coughs, the trachea (windpope windpipe) contracts, allowing air to be expelled at a maximum velocity. It can shown that during a cough the velocity v of airflow is given by the function v = f(r) = kr2(Rr) , where r is the trachea’s radius (in centimeters) during a cough, R is the trachea’s normal radius (in centimeters), and k is a positive constant that depends on the length of the trachea. Find the radius r for which the velocity of airflow is greatest.

首先,變數 r 的自然限制是 0 ≤ rR。此外,vr 的多項式。所以 v[0, R] 的最大值只會出現在端點或平坦處。

我們先考慮端點。

f(0) = f(R) = 0

接著,我們考慮平坦處。為了方便計算,我們把 f(r) 展開。

f(r) = kRr2kr3

這樣微分就容易多了。

f′(r) = 2kRr − 3kr2

解得平坦處在 0 及 2R/3 二處。我們已經討論過 0 這個端點了,而

f(2R/3) = k (2R/3)2 (R/3) > 0

所以最大值發生在 r = 2R/3

醫管系第 9 題

Suppose that during a nationwide program to immunize the population against certain from of influenza, public health officials found that the cost of inoculating x% of the population was approximately million dollars.

  1. What was the cost of inoculating the first 50% of the population?
  2. What was the cost of inoculating the second 50% of the population?
  3. What percentage of the population had been inoculated by the time 37.5 million dollars had been spent?

本題是閱讀測驗,數學很簡單。

  1. C(50) = 50
  2. C(100) − C(50) = 100
  3. 這實質上是解 解得 x 為 40,答案為 40%。

牙醫系第 10 題

A rain gutter is made from sheets of metal 9 in wide. The gutters have a 3-in base and two 3-in sides, folded up at an angle θ (see figure). What angle θ maximizes the cross-sectional area of the gutter?

等腰梯形水槽,下底與兩腰皆三吋長。

[本圖受著作權保護,請勿轉載。]

我們知道 θ 的自然限制是 0 ≤ θ ≤ π。設此梯形的截面積為 A,則

A = 9 (sin θ) (1 + cos θ)

若代入端點,截面積均為 0。我們尋找導數為 0 的點。

解得當 cos θ 為 1/2 或 -1 時,導數為 0。由自然限制得 θ 分別為 π/3 與 π,其中 π 是端點,已經討論過了。我們確認當 θ 為 π/3,A > 0,大於端點的值。所以最大值發生在 θ = π/3

公、保第 10 題

Several mathematical stories originated with the second wedding of the mathematician and astronomer Johannes Kepler. Here is one: While shopping for wine for his wedding, Kepler noticed that the price of a barrel of wine (here assumed to be a cylinder) was determined solely by the length d of a dipstick that was inserted diagonally through a hole in the top of the barrel to the edge of the base of the barrel (see figure). Kepler realized that this measurement does not determine the volume of the barrel and that for a fixed value of d. The volume varies with the radius r and height h of the barrel. For a fixed value of d, what is the ratio r/h that maximizes the volume of the barrel?

圓柱形的酒桶

[本圖受著作權保護,請勿轉載。]

設體積為 V,則

V = πr2h

我們希望只留下單一變數,rh 其一。平方項好欺負!

r2 = d2h2

所以

V = π (d2hh3)

其中 h 的自然限制是 0 ≤ hd。代入端點會使得 V 為 0。接著我們對 h 微分得

導數為 0 的點有 ,但負不合。將 代入得

並且造成 V > 0,故此處確定是最大值。所以可以安心作答。

醫管系第 10 題

Based on a study conducted in 1997, the percentage of the U.S. population by age affilcted with Alzheimer’s disease is given by the function

P(x) = 0.0726x2 + 0.7902x + 4.9623 where 0 ≤ x ≤ 25

where x is measured in years, with x = 0 corresponding to age 65 yr. Show that P is an increasing function of x on the interval (0, 25). What does your result tell you about the relationship between Alzheimer’s disease and age for the population that is aged 65 year and or older?

P 在 [0, 25] 等於多項式,所以在 (0, 25) 可微。我們觀察它的導函數。

P′(x) = 0.1452x + 0.7902 where 0 ≤ x ≤ 25

顯然 P′(x) > 0,所以 P 在區間 (0, 25) 內遞增。這意味著 65 歲以上的人口,得到阿茲海默症的比例隨年齡提高。

2013 醫學系期中小考

這是 2013 年臺北醫學大學醫學系的微積分第一次平時考解答。

第 1 題

Suppose a population of bacteria doubles every hour, but that 1.0 × 106 individuals are removed before reproduction to be converted into valuable biological by-products. Suppose the population begins with b0 = 3.0 × 106 bacteria.

  1. Find the population after 1, 2, and 3 hours.
  2. Write the discrete-time dynamical system.

由題意可知

bt+1 = 2.0 (bt − 1.0 × 106)

bt+1 = 2.0 bt − 2.0 × 106

所以

b1 = 4.0 × 106

b2 = 6.0 × 106

b3 = 1.0 × 107

第 2 題

In one simple scenario, mutations occur in only one direction (wild type tum into mutants but not vice versa), but wild type and mutants have different levels of per capita production. Suppose that a fraction 0.1 of wild type mutate each generation, but that each wild type individual produces 2.0 offspring while each mutant produces only 1.5 offspring. In each case, find the following.

  1. The number of wild-type bacteria that mutate.
  2. The number of wild-type bacteria and the number of mutants after mutation.
  3. The number of wild-type bacteria and the number of mutants after reproduction.
  4. The total number of bacteria after mutation and reproduction.
  5. The fraction of mutants after mutation and reproduction.

(Begin with 1.0 × 106 wild type and 1.0 × 105 mutants.)

本題有一些暗示不太容易看出來。從題目的順序暗示在每回合中,細菌先突變再繁殖。此外,細菌一般行分裂生殖,繁殖後原個體消失。

此時由野生種突變的個體有

0.1 (1.0 × 106) = 1.0 × 105

突變後野生種剩下

1.0 × 106 − 1.0 × 105 = 9.0 × 105

而突變種有

1.0 × 105 + 1.0 × 105 = 2.0 × 105

接下來細菌進行繁殖。野生種有

2.0 (9.0 × 105) = 1.8 × 106

突變種有

1.5 (2.0 × 105) = 3.0 × 105

總和為

1.8 × 106 + 3.0 × 105 = 2.1 × 106

回合前突變種的佔比為

如今則是

第 3 題

Consider again a lung that has a volume of 6.0 L and that replaces 0.6 L each breath with ambient air. Suppose that we are tracking oxygen, with an ambient concentration of 21%. Assume that the actual oxygen concentration in exhaled air is approximately 15%. What fraction of oxygen is in fact absorbed?

(6.0 − 0.6) 15% α = 0.6 (21% − 15%)

81α = 3.6

α ≈ 0.044

第 4 題

The model describing the dynamics of the concentration of medication in the bloodstream,

Mt+1 = 0.5Mt + 1.0,

becomes nonlinear if the fraction of medication used is a function of the concentration. In the basic model, half is used no matter row how much [the concentration] is there. More generally,

new concentration = old concentration − (fraction used) × (old concentration) + supplement.

Suppose the fraction used = 0.5 / (1 + 0.1Mt). Write the discrete-time dynamical system and solve for the equilibrium.

由題意可知此系統的迭代式為

當平衡濃度到達時,濃度不再變化。因此設平衡濃度為 M,必滿足

我們求此方程式的解。

0.5M = 1 + 0.1M

M = 2.5

第 5 題

In an excitable heart model. Let Vc be the threshold potential. The discrete-time dynamical system can be describe as

With the parameter values u = Vc = 1, compute the conditions on c for the existence of an equilibrium.

代入 u = Vc = 1。若平衡電位 V 存在,它必滿足

cV > 1,則 c = 1V > 1。但是 c 是衰減係數,應小於 1,故不合。

cV ≤ 1,則

V = cV + 1

因為 cV ≤ 1,所以

c ≤ 0.5

2013 期中小考

這是 2013 年臺北醫學大學牙醫系公衛系保健系的微積分第一次平時考解答。

,未善用電子白板,所以不是很完整。

線性回歸

第 1 題

In a study of five industrial areas, a researcher obtained these data relating the average number of units of a certain pollutant in the air and the incidence (per 100,000 people) of a certain disease:

Units of pollutant3.44.65.28.010.7
Incidence of disease4852587096

Find the equation of the least-squares line y = Ax + B (to two decimal points places.)

Given that and .
試算表
x y x2 xy
3.4 48 11.56 163.2
4.6 52 21.16 239.2
5.2 58 27.04 301.6
8 70 64 560
10.7 96114.491027.2
31.9324238.252291.2

把這些總和代入公式。

為了避免捨入誤差,我先化簡分式。作答只須估算即可,畢竟題目只要求小數點後二位。

導函數

第 2 題

Use the definition of the derivative to find .

代入題目給的定義。

和角公式如下。

所以

這帶我們回到二個經典的極限問題。

答題時不須證明,可直接代入。

切線與法線

第 3 題

Find the equation of the tangent line and the normal line of the curve x2y3 + xy = 10 at (1, 2).

首先,(1, 2) 的確滿足 x2y3 + xy = 10

我們將這個關係進行對 x隱微分,即在 (1, 2) 附近將 y 視為 x 的函數。

3x2y2y′ + 2xy3 + xy′ + y = 0

(3x2y2 + x) y′ + 2xy3 + y = 0

將 (1, 2) 代入。

13 y′ + 18 = 0

所以圖形在 (1, 2) 處的斜率為 -18/13,因此切線為通過 (1, 2) 且斜率為 -18/13 的直線。此直線的方程式為

因為直角三角形的母子相似,法線斜率為 13/18,它的方程式是

函數圖形

第 4 題

Sketch the graph of f(x) = 6x5 − 5x3 and also find the relative extreme points and inflection points.

多項式是光滑函數,局部極值只會出現在平坦處,即導數為 0 之處。因此首先我們找出所有平坦處以簡化問題。此外,這個函數是奇函數,省去了一些繪圖的麻煩。

f′(x) = 30x4 − 15x2

顯然平坦處出現在 0 與 三處。我們再進行高階導數測試

f″(x) = 120x3 − 30x

f‴(x) = 360x2 − 30

由於 f″(0) = 0f‴(0) < 0,所以此處為嚴格遞減的反曲點。同理,,所以此處為局部極小值。在 處則為局部極大值。

多項式的圖形的反曲點出現在導函數的極值,故只會出現在二階導數為 0 之處。因此我們找出所有這些地方,即 x = 0 或 x = ±1/2。我們討論過 x = 0 的狀況了。因為 f‴(1/2) = f‴(-1/2) < 0,所以也是嚴格遞減的反曲點。

類型準確值估計值其他特徵
極大值(-0.7071067811865475, 0.7071067811865475) 
反曲點(-1/2, 7/16)(0.5, -0.4375)嚴格遞減
反曲點(0, 0)(0, 0)平坦、嚴格遞減
反曲點(1/2, -7/16)(0.5, -0.4375)嚴格遞減
極小值(0.7071067811865475, -0.7071067811865475) 

此外,為了精準的手繪圖形,我們還需要解出函數的根。本題為特殊的五次函數,碰巧可以求解析解。

6x5 − 5x3 = x3 (6x2 − 5)

可見根在 0 及 。為了繪圖,我們計算近似值。

6x5 − 5x3 的圖形

線性近似

第 5 題

Use the differentials to approximate the quantity to four decimal points places.

我們知道 ,這很適合作為近似的起點。設 ,則

線性近似告訴我們

f(x) ≈ f(a) + f′(a) (xa)

代入題目的函數。

我們開始進行迭代

f(0.089) ≈ 0.3 + f′(0.09) (0.089 − 0.09)

為了避免捨入誤差,我先化簡分式。作答只須估算即可。小數點後四位已無變化,因此

牛頓法

第 6 題

Use Newton’s method to find the real root r of f(x) = x3x − 1 to two decimal points places, given that initial point x0 = 1.5.

牛頓法的迭代公式如下。

代入題目的函數。

進行迭代,直到小數後二位不變為止。

nxn
01.5
11.347826086956522
21.325200398950907
31.324718173999054

所以

x ≈ 1.32

問題的問題

  1. 第一個答案是 A 的問題是哪一個?
    1. 1
    2. 2
    3. 3
    4. 4
  2. 唯一的連續兩個具有相同答案的問題是
    1. 5, 6
    2. 6, 7
    3. 7, 8
    4. 8, 9
  3. 本問題答案和哪一個問題的答案相同?
    1. 4
    2. 9
    3. 8
    4. 2
  4. 答案是 A 的問題的個數是
    1. 5
    2. 4
    3. 3
    4. 2
  5. 本問題答案和哪一個問題的答案相同?
    1. 1
    2. 2
    3. 3
    4. 4
  6. 答案選 A 的問題的個數和答案選什麼的問題的個數相同?
    1. C
    2. C
    3. D
  7. 按照字母順序,本題答案與下一題相差多少?(A 與 B 之間,或 B 與 A 之間均相差 1)
    1. 3
    2. 2
    3. 1
    4. 0
  8. 十道題中答案為母音的題數為
    1. 0
    2. 1
    3. 2
    4. 3
  9. 十道題中答案為子音的題數
    1. 合數
    2. 質數
    3. 小於 5
    4. 平方數
  10. 本題答案為
    1. A
    2. B
    3. C
    4. D

本題組取自此處。以下詳解中,確定的答案都強調標示。

若第 7 題的答案為 C,則第 8 題為 B 或 D,否則第 8 題必為 D。

第 4 和第 8 題都問 A 的個數,所以 A 只可能有二或三個。若 A 有二個,則第 8 題為 C,為第 7 題所不允許。因此 A 有三個,第 8 題為 D,第 4 題為 C,第 9 題為 B

第 2 題暗示前五題內相鄰二題答案相異,所以第 3 題必與 2、4 二題相異。又第 8 題非 C 且第 9 題為 B,第 3 題必為 B。此時因為 3、4 二題皆非 A,第 1 題只有 A、B 二種可能。同樣地,第 5 題也只有 A、B 二種可能。

假設第 1 題為 B,則第 2 題為 A。此時第 5 題無選項可選,產生矛盾。所以第 1 題只好為 A

第 2 題遭 1、3 二題夾殺,又 8、9 答案相異,所以第 2 題為 C。這還能推論出二題的答案。

  • 第 5 題為 A,因為第 2 題非 B。
  • 因 7、8 二題相同,所以第 7 題為 D

此時只剩 6、10 二題未作答。因第 6 題遭夾殺,可提早推論出 A 的個數與 C 的個數相同,故這二題必定一為 A,另一為 C。又第 5 題的 A 阻止了第 6 題的 A,所以第 6 題為 C,第 10 題為 A,湊足三個 A 與三個 C。答畢。

唯一解為 ACBCA CDDBA。

自由地創作吧!

現代的著作權法在美國遭到迪士尼等利益團體遊說,再動用 301 條款對外散布,是對大財團有利的著作權法。現在的著作財產權禁止閱聽人修改、散布的,即使是非商業地散布非商業地散布對獨立創作者有利,因為這可以增加著作人的知名度。我們的《著作權法》正是酸酒前的猛狗,阻礙了獨立創作的發展。

不過我們知道阻止閱聽人複製、散布是不道德且不可能的。除非把所有人的眼睛、耳朵挖掉,改裝電子義眼、義耳,不然類比漏洞永遠存在。

資訊渴望自由。
Stewart Brand

我們人類是在物理世界的存在。所有的訊息必以電磁波機械波的形式傳遞才能被人體感知。例如螢幕把數位圖像以光,也就是電磁波,的形式放出,才被人理解。同樣地,數位音樂經喇叭轉成聲波,也就是機械波,才被人感知。若要複製訊息,充其量我們把螢幕、喇叭錄下來,誰奈何得了我們?拜託,這是我們的機器!

阻止閱聽人複製不僅技術上不可行,法律上也不可行。以下討論我國《著作權法》第四款,即第 44 至 66 條,對合理使用的保障。

若不幸真的與人在著作權上發生爭議,請參考章忠信〈著作權侵害案件的抗辯三部曲〉。

此外,當我們由倫理的角度思考時,會發現侵權不太像是不道德的行為,剽竊才是。著作權無法阻止剽竊,反而掩蓋真正的道德思考。

智慧,不是財產。智慧,是廣告看板。

創用 CC 授權

阻止閱聽人重製是如此地困難,不如我們就先允許別人重製。這是創用 CC 的基本精神。在非程式的著作中,創用 CC 是最廣泛的授權。所有創用 CC 條款都允許閱聽人進行非商業地複製,也都要求閱聽人標示作者姓名。創用 CC 條款由四個元素組成。

姓名標示 (BY)
你必須按照著作人或授權人所指定的方式,表彰其姓名。
非商業性 (NC)
不得將著作進行商業目的之使用。
相同方式分享 (SA)
若對本著作進行變更、轉換或修改,僅得依本授權條款或類似之授權條款散佈該衍生作品。
禁止改作 (ND)
不得變更、轉換或修改本著作。

其中 BY 條款為必選,而 SA 與 ND 互斥。因此共可組合出六種授權條款。創用 CC 的精神與正常民主法治國家的法律相同——一切允許,除非明令禁止。所以條款的圈圈越多,理論上是給予閱聽人更多限制。

但我認為 CC 條款過於多樣化,而選項過多是一種困擾。所以我們在此重新檢視 CC 條款的優劣與如何選擇適合你的條款。我認為 CC 只需要留下 BY, BY-SA, BY-NC 三種條款即可

不要使用 ND

ND 為你帶來的益處實在很小,而且給你虛偽的安全感。作者常以為它做了一些它其實做不到的事。

  1. 它無法阻止合理使用。
  2. 它無法阻止戲仿拼貼
  3. 它無法阻止作品被引用。
  4. 它無法阻止作品被誤解。

後三條其實是第一條的結果。資訊渴望自由,再加上言論自由、秘密通訊自由是憲法所保障的,因此我們無法阻止訊息的自由流通。世上當然罔顧自由權的國家,但她們也罔顧著作權,不是嗎?而 BY-ND 的法律條款也說了:

Nothing in this License is intended to reduce, limit, or restrict any uses free from copyright or rights arising from limitations or exceptions that are provided for in connection with the copyright protection under copyright law or other applicable laws.

我建議 CC 當局廢除 ND,而廢除 ND 是很容易的。畢竟它禁止改作,所以早已是死巷,當局只要不再推出新的 ND 條款即可。

BY-NC 與 BY-NC-SA 無顯著差異

作者常對 BY-NC-SA 有些迷思。

  • SA 允許其他人分享我的作品。
  • 若沒有 SA,別人會控告我拿我的作品的衍生作品營業。

以上皆非。

首先,NC 比 NC-SA 開放。還記得嗎?圈圈越多,給予更多限制。再者,你是作品的著作權人,對作品有任意使用的權利。非商用這名字取得不好,保留商業壟斷權倒傳神些。

CC 的律師也表示 NC 已經蘊涵 SA,即有 NC 的作品的衍生著作必須也含有 NC。因為若衍生著作沒有 NC,則這個衍生著作反而可商用,產生矛盾。NC 阻止作品進入自由領域,即 BY 和 BY-SA,所以 BY-NC-SA 與 BY-SA 毫無關聯。BY-NC-SA 的名字容易讓人產生錯誤聯想。

只考慮三種授權

我們已經把問題簡化許多。現在只剩三個選項。

BY
你希望你的作品能讓越多人看見越好。只要標示你的大名,別人要怎麼用,即使是用了你的作品開發商品,你都開心,因為你也出名了。你的作品可以放在維基百科。你應該也會認同 MIT 授權條款。你可能是自由主義者。
BY-SA
閱聽人只能以 CC BY-SA 或 GFDL 發布衍生著作。你有滿腔熱血,喜歡加倍奉還。你給 copyleft 一個讚。你的作品可以放在維基百科。你應該也會認同 GPL 授權條款。你可能是社會主義者。
BY-NC
這適合要開發周邊商品的你,像 xkcd 那樣。但請注意你的作品不屬於自由文化,因為閱聽人不可以商用改作。只有你可以你畫的圖做成的海報、貼紙

自由軟體

根據自由軟體基金會定義,當軟體使用者有以下四項自由,這個軟體就是自由軟體

  1. 以任何目的運行該程式。
  2. 取得軟體的源碼並學習程式的運作、修改為你想要的樣子。
  3. 隨意發佈軟體副本以幫助別人。
  4. 隨意分發你修改的版本(包括源碼)給別人。此舉可使你的版本惠及社群。
自由軟體心智圖
自由軟體心智圖

自由軟體仍然具有著作財產權,並不屬於公有領域。而因為自由軟體必定開源,必然遵守開放標準

電腦程式在著作權法上的地位比較特殊。首先,因為程式可被多種資訊載體容納,可說是不具有實體,因此與實體財產權相關的耗盡理論通常不成立。程式作品跟其他作品很不一樣。程式設計師輸入機器的通常是源碼,經過直譯或者編譯再執行產生行程,才會產生使用者期待的效果。

此外,程式互相鏈結是很常見,甚至是應該受鼓勵的現象。然而,假設有程式作品甲,而你設計了作品乙與甲鏈結,即使你並未使用甲的源碼,乙可能被認為是甲的衍生創作。有時這是我們不樂見的副作用,因此這是法律專業人士在撰寫程式授權時要特別考慮的一點。

本文我們只探討自由軟體授權。自由軟體具有以下特性:

開放源碼

為了保障自由 1、3,自由軟體必須開放源碼,而且不可以被打亂。稍後我們會再討論開源軟體

不特定授權對象

即使軟體一開始只散布給特定人,然而因為這些人可以隨意發佈軟體副本,而接受者只要符合條款就是合法的被授權人,一樣擁有四大自由。

此外,拿到程式與授權的人可以再和最初授權人,通常是作者,另行商談專有授權。

不限制使用區域

四大自由:執行、研究、修改、散布,是全人類的基本權利,當然沒有區域之分。

免權利金

權利金僅僅是購買使用權,甚至可能會限制使用者、時間、地區、方法,還會依不同價格施捨不同權利。這樣的權利是人類共有的,不需得到廠商施捨。

要特別注意的是,自由軟體不代表非商業用途。相反地,自由軟體必須容許商業用途才能成全自由 0。現在商業自由軟體開發已經很常見且重要,例如 RHEL 在很多伺服器上運行著。

不擔保

因為免權利金,所以也不能要由自由軟體授權人擔保軟體的品質與功能的完整性。但是自由軟體仍然不可以做違法的事,例如放火把你的房子燒了。

部份自由的軟體

不自由的專有軟體雖未完全符合自由軟體的要件,但是有些具有四大自由的部份,所以也在此提出討論。

開源軟體

自由軟體必為開源軟體,因為這樣才能讓使用者學習程式的運作並修改程式。許多人把自由和開源視為等同,但若仔細審視定義,自由軟體其實是開源軟體的一種。不過兩者的差異並不明顯,且絕大多數的開源軟體都是自由的。

免費軟體

使用者不出要付錢就能使用免費軟體。就定義上而言,一個軟體是否免費與是否開源無關,但多數自由、開源軟體都免費。不過有許多免費軟體是閉源的。

閉源的免費軟體有 Adobe Flash Player, Adobe Reader, Wbridge5 等。

要特別注意的是,若軟體以試用期等手段限制使用者使用,則不是免費軟體而是共享軟體。

共享軟體

共享軟體可以自由散布,但是軟體常利用有限期的試用機制限制使用者使用。共享軟體不是自由軟體。最著名的例子是 WinRAR。由此可見 RAR 不是開放標準。

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