2014 期中小考

醫學系的課程內容與其他系有很大的差異,因此考試排程也不同。目前尚未撰寫醫學系的詳解。

本文還在施工中。

導函數

牙醫系第 2 題

Use the definition of the derivative \displaystyle f' \left( x \right) = \lim_{h \to 0} \frac {f \left( x + h \right) - f \left( x \right)} h given that to find the derivative of f(x) = cos(x).

本題同去年的第 2 題,只是用詞不同。

其他系第 2 題

given that to find the derivative of f(x) = x3 + 7x.

代入題目給的定義。

 f' \left( x \right) = \lim_{h \to 0} \frac {\left( x + h \right)^3 + 7 \left( x + h \right) - \left( x^3 + 7x \right)} h 

對於記得一些乘法公式的學生來說,同次項相減算起來比較快。

(x + h)3x3 = 3x2h + 3xh2 + h3

(x + h)3 + 7(x + h) − (x3 + 7x) = (3x2 + 7)h + 3xh2 + h3

牙醫系第 5 題

Logarithmic differentiation. Let and find f′(x)

對數微分法

乘法法則

導數

第 3 題

Given , find f′(3).

切線與法線

牙醫系第 4 題

Find the equation of the tangent line of the family of curves y3 + xy = sec(xy2) + c at (1, 1).

Hint

我們將這個曲線族對 x 隱微分,即在 (1, 1) 附近將 y 視為 x 的函數。

3y2y′ + y + xy′ = sec(xy2) tan(xy2) (y2 + 2xyy′)

(3y2 + x) y′ + y = sec(xy2) tan(xy2) (y2 + 2xyy′)

代入 (1, 1) 以求取切線斜率。

4y′ + 1 = sec 1 tan 1 (1 + 2y′)

cos2 1 (4y′ + 1) = sin 1 (2y′ + 1)

cos2 1 − sin 1= (2 sin 1 − 4 cos2 1) y

所以切線方程為

其他系第 4 題

Find the equation of the normal line of the family of curves y3 + xy = xy2 + c at (3/16, 2).

我們將這個曲線族對 x 隱微分

3y2y′ + y + xy′ = y2 + 2xyy

(3y2 − 2xy + x) y′ = y2y

代入 (3/16, 2) 以求取切線斜率。

(12 − 9/16) y′ = 2

y′ = 32/183

所以法線斜率為 -183/32,而法線方程為

應用題

牙醫系第 6 題

Electron speed. An electron with a whose mass of is 9.1 × 10-31 kg and a charge of is -1.6 × 10-19 C travels in a circular path with no loss of energy in a magnetic field of 0.05 T that is orthogonal to the path of the electron. If the radius of the path is 0.002 m, what is the speed of the electron?

磁力提供電子繞圈的向心力。

mv2 / r = q |v × B|

其中 m 為質量,v 為速度,q 為電量,B 為磁場;向量以粗體表示,而純量(包括向量的量值)則否。因為速度與磁場垂直,所以

|v × B| = vB

此時本題由向量問題簡化為純量問題。

mv2 / r = qvB

v = qrB / m

代入題目的數據。

v = (1.6 × 10-19 C) (0.002 m) (0.05 T) / (9.1 × 10-31 kg)

v ≈ 1.76 × 107 m/s

其他系第 6 題

In the late 1830s, French physiologist Jean Poiseuille discovered the formula we use today to predict how much the radius of a particular clogged artery decreases the normal volume of flow. His formula,

V = kr4

says that volume of fluid flowing through a small pipe or tube in a unit of time at a fixed pressure is a constant times the fourth power of the tube’s radius r. How dose does a 10% decrease in r affect V?

官方解法

由題意知

Δr = 0.05r

我們利用

得出

ΔV ≈ 0.2kr4 = 0.2V

V 增加 20%

直接解法

設原有的半徑為 r0,原有的體積為 V0

V0 = kr04

因為半徑增加 5%,即

r = 1.05r0

所以

V = k (1.05r0)4 = 1.054 V0

體積增加 21.550625%

線性回歸

其他系第 1 題

In a study of 12 subjects, a clinical researcher obtained these data relating the ages of a subject pool (in years) to that of their systolic blood pressure (in mmHg):

No. Age (years) BPsystolic (mmHg)
125120
237139
320118
449150
527125
623115
734146
856170
924128
1036137
1122126
1242148
試算表
x y x2 xy
25120 6253000
3713913695143
20118 4002360
4915024017350
27125 7293375
23115 5292645
3414611564964
5617031369520
24128 5763072
3613712964932
22126 4842772
4214817646216
39516221446555349

考卷掃描

2014 微積分小考考卷
2014 微積分小考考卷,300 dpi.

作者: 何 震邦

我叫何震邦,目前就讀臺北醫學大學醫學系。在漢字不宜的場合,我也叫 Chen-Pang He。各位看倌可以在 FacebookGoogle+ 找到我。詳細資訊請洽本站的《關於》頁面。

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