2014 期中考

本次考試本質上有二份試卷。牙醫系考一份 6 題的考卷,而醫學系也用同一份,但沒有第 6 題;其他系考另一份 6 題的考卷。每題 20 分。

醫牙的卷子比小考難。很遺憾,殺到大家了。<(_ _)>

導函數

牙醫系第 2 題

Use the definition of the derivative \displaystyle g' \left( t \right) = \lim_{h \to 0} \frac {g \left( t + h \right) - g \left( t \right)} h given that to find the derivative of g(t) = 1/t2.

首先,代入題目的定義。


		\begin{align*}
			g' \left ( t \right)
				&= \lim_{h \to 0} \frac {g \left( t + h \right) - g \left( t \right)} h \\
				&= \lim_{h \to 0} \frac {\left( t + h \right)^{-2} - t^{-2}} h \\
				&= \lim_{h \to 0} \frac {t^2 - \left( t + h \right)^2} {ht^2 \left( t + h \right)^2} \\
				&= -\lim_{h \to 0} \frac {h \left( 2t + h \right)} {ht^2 \left( t + h \right)^2}
		\end{align*}
		

我們發現有個部份分式分解可以簡化題目。

 \frac {2t + h} {t \left( t + h \right)} = \frac1t + \frac 1 {t + h} 

所以


		\begin{align*}
			g' \left( t \right)
				&= -\frac1t \lim_{h \to 0} \frac 1 {t + h} \left( \frac1t + \frac 1 {t + h}\right) \\
				&= -\frac1t \left( \frac1t + \lim_{h \to 0} \frac 1 {t + h}\right) \lim_{h \to 0} \frac 1 {t + h}
		\end{align*}
		

我們知道

\lim_{h \to 0} \frac 1 {t + h} = \frac1t 

所以


		\begin{align*}
			g' \left( t \right)
				&= -\frac1t \left( \frac1t + \frac1t \right) \frac1t \\
				&= -\frac 2 {t^3}
		\end{align*}
		

牙醫系第 3 題

Given \displaystyle f \left( x \right) = \frac {x \sin x} {1 + \cos x} , find f′(x).

這個應該很簡單吧?

 f' \left( x \right) = \frac {\sin x + x \cos x} {1 + \cos x} + \frac {x \sin^2 x} {\left( 1 + \cos x \right)^2} 

本文未完

作者: 何 震邦

我叫何震邦,目前就讀臺北醫學大學醫學系。在漢字不宜的場合,我也叫 Chen-Pang He。各位看倌可以在 FacebookGoogle+ 找到我。詳細資訊請洽本站的《關於》頁面。

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