考前猜題

本次考試的計算複雜度為史上最低,請各位同學務必好好把握這次千載難逢拿高分的機會。此外,本文為了簡潔,省略符號積分的積分常數

牙醫系考前猜題,攝於

統計

都有官方資料了,還不看嗎?

反三角替代

本題是最難準備的一題。因為若在實數域的框架下,會有不同的狀況要討論。

積分有理函數

因為我們用 Logistic equation 的方式考了部份分式法,所以本題的被積函數的分母必為不可約的二次式。

求下列不定積分。

∫((4x + 5)/(x2 + 2x + 3))dx

(4x + 5)/(x2 + 2x + 3) = 2(2x + 2)/(x2 + 2x + 3) + 1/(x2 + 2x + 3)

u = x + 1

1/(x2 + 2x + 3) = 1/(u2 + 2)

∫(1/(u2 + 2))du = arctan(u/√2)/√2

∫(1/(x2 + 2x + 3))du = arctan((x + 1)/√2)/√2

∫((4x + 5)/(x2 + 2x + 3))dx = 2 ln(x2 + 2x + 3) + arctan((x + 1)/√2)/√2

積分無理函數

我們會考根號內是二次式的題目。在實數域的框架下,要分成三種狀況討論。

其中若領導係數為負,則該二次式必可約,否則根號內為恆負,無法在實數域上積分。

領導係數為正,可約

求下列不定積分。

∫(1/√(x2 + x − 2))dx

因式分解得

x2 + x − 2 = (x − 1) (x + 2)

x > 1

√(x2 + x − 2) = √(x − 1) √(x + 2)

y = √(x − 1) + √(x + 2)

Dx y = 1/(2(x − 1)) + 1/(2(x + 2)) = y/(2(x2 + x − 2))

∫(2/y)dy = ∫(1/(x2 + x − 2))dx = 2 ln y = 2 ln(√(x − 1) + √(x + 2)) = ln(2√(x2 + x − 2) + 2x + 1)

x > 1x < − 2

所以

承上題,求下列不定積分。

,則

x > 1

x < − 2

綜合得

經過了這一次的教訓,你大概會猜這種題目兩邊積出來的樣子會一樣。這是正確的,只是在實數域上不太容易證明。等到定義了複變函數的積分,再加上 branch cut 的觀念會好證許多。所以在考試等趕時間的狀況,其實解一邊就解出答案了。

領導係數為正,不可約

求下列不定積分。

x2 + 2x + 3 = (x + 1)2 + 2

承上題,求下列不定積分。

我們利用 cosh 是 sinh 的導函數,得

所以

我們利用平方差公式。

領導係數為負

求下列不定積分。

x2 + 2x + 2 = 3 − (x − 1)2

求下列不定積分。

三角函數的積分

本次只會考偶數型,而且次數不超過 8 次。

求下列不定積分。

小考考過了,大家應該輕車熟路吧!

分部積分

分部積分是符號積分的最後手段。明顯要採用分部積分的時機,是當被積函數是

  • 有理函數乘以對數或反三角函數,
  • 多項式乘以指數函數乘以三角函數。

本次考試的被積函數,將會是多項式、指數函數、三角函數三者中取二者相乘,但為了完整,我們還是討論所有狀況。

指數函數乘以三角函數

因為 sin, cos 通過微分或積分的運算後會變成對方,所以要分部積分二次就能獲得原積分式的一元一次方程,此時求解即可。

求下列不定積分。

多項式乘以指數函數乘以三角函數

我們思考一下多項式的微積分性質,再決定解題策略。

  • 多項式不斷地微分會一直降次,直到變成常數。
  • 多項式乘以 exp, cos, sin 後微分不會降次。
  • 多項式積分後會升次。

所以唯一合理的解題方式,是設多項式為所謂的 u,剩下的當 dv

求下列不定積分。

反正到最後,ex cos xex sin x 都要積分,乾脆現在先積個痛快。

接著再進行 2 次分部積分。

Logistic equation

給定一個初值問題

y′(t) = 0.0003 y(t) (2000 − y(t))

y(0) = 800

y(3)

Logistic equation 一定可分離變數,再積分有理函數就可獲得通解。

其中 c 是積分常數。接著,我們進行部份分式分解

逐項積分得到通解

此時我們就可以由初始值求取積分常數了。代入 t = 0y = 800

我們已經有長得不錯的特解,只要代入 t = 3 就是答案了。

歐拉法

給定一個初值問題

以歐拉法,用 0.1 的步長,求 y(1) 的近似值。

歐拉法數值方法,所以通常只在解析解不明顯或無法取得時才派上用場。但考試歸考試,所以還是會考出像本題這樣的題目。

歐拉法的精度不高,但計算成本很低,因此在重量不重質的物理模型堪用;在精度要求較高的情況下,會使用龍格–庫塔法。然而,在物理模擬與電玩等以牛頓運動方程為依歸的系統中,韋爾萊積分比較適合。PhET 的行星模型就是用韋爾萊積分跑的。

本題是常係數齊次線性微分方程,除了有明顯的解析解外,進行歐拉法的成本也特別低。

y(t + 0.1) ≈ y(t) + 0.1 y′(t) = 1.2 y(t)

y(t + 1) ≈ 1.210 y(t)

y(1) ≈ 1.210 = 6.1917364224

誤差

本題的精確解為

y(t) = e2t

y(1) = e2 ≈ 7.38905609893065

絕對誤差為

1.210 − e2 ≈ −1.19731967653065

相對誤差為

e−2 (1.210 − e2) ≈ −16.20395975480451%

一般狀況

一般而言,歐拉法等數值方法其實主要用在無解析解的狀況,例如

以歐拉法,用 0.1 的步長,求 y(1) 的近似值。

此時就真的只能迭代 10 次了。我們似乎不考這種狀況,所以詳解就不寫了。