微分

人類先碰到測量曲線長度、面積、容積、體積等積分問題,後來才遇到運動學、經濟學的微分問題。因為微分的計算較簡單,而且較容易由集合論定義,所以現代學生往往先學習微分。

導數

斜率函數

給定一函數 f 與一點 a,我們可以想見它們可以建構出斜率函數

\begin{equation} x \in \left( \operatorname{dom} f \backslash \left\{ a \right\} \right) \mapsto \frac {f \left( x \right) - f \left( a \right)} {x - a} \label{slope} \end{equation}

其中自變數 x 屬於 f 的定義域,但不等於 a。函數值就是通過 (a, f(a))(x, f(x)) 的割線的斜率。它是差分的商,所以也叫做差商

導數

切線是割線的極限,它的斜率就是 \eqref{slope} 式中 x 趨向 a 的極限。

\begin{equation} \lim_{x \to a} \frac {f \left( x \right) - f \left( a \right)} {x - a} \label{limit-slope} \end{equation}

我們稱之為函數 fa 上的導數。

字詞辨正

極限是土產,但微積分是洋物,由李善蘭帶入漢字文化圈。不過人類描述微分的術語,讓人不禁懷疑そんな陳述で大丈夫か?

導數就是 derivative,導函數則是 derived function,這些不易發生誤會。以下我們探討一些容易混淆的詞。

求導數的過程叫 differentiation,譯作微分。但是函數的線性近似的變化量,即 differential,也譯作微分。這樣的問題在英文也造成些微影響。Differentiation 的形容詞是 differential,但 differential 這字也是個名詞。

In [differential] calculus, the differential represents a change in the linearization of a function.

導數的另一種定義

設函數 fa 上可微。

我們從左式出發。設 x = a + h,則 h = xa

又因為

所以

導數的存在

導數是個極限,所以我們只需要檢驗斜率函數的極限是否存在。

實導數的存在

因為是討論實導數,本小節所使用的函數都是它們在實數上的限制。我們可以使用檢驗實數極限的存在性的伎倆。

  • 檢查斜率函數的上下極限是否等值。(上下極限必存在)
  • 檢查斜率函數左右極限是否存在且等值。

絕對值函數在 0 處的斜率函數為

此函數在 0 處的上極限和右極限都是 1,而下極限和左極限都是 -1,所以極限在此不存在。雖然絕對值函數在 0 處連續,但不可微。

反觀這個奇怪的函數,它在 0 處可微。

它在 0 處的斜率函數為

分子、分母共有的 x 可以安心消掉,因為 x ≠ 0。由於 1 / x 是實數,-1 ≤ sin (1 / x) ≤ 1,所以

-|x| ≤ x sin (1 / x) ≤ |x|

顯然

由夾擠定理得

複導數的存在

複可微是比較嚴苛的條件。事實上,複可微的點是全純的。

絕對值函數在非零實數處具有實導數,但是處處沒有複導數。因為它不滿足柯西-黎曼方程,斜率函數從不同方向會獲得不同的極限。

y 為實變數,

看起來不太好算,但是我們可以取它的絕對值。我們利用了絕對值函數的連續性以及積性。

意外吧!答案竟然不是 1。極限值看起來像是 0。

y ≠ 0,則 |y| > 0。因此對於正數 ε,我們只需檢查是否存在正數 δ 使得

式子有些複雜,我們幫它美容一下。

兩邊平方得

9 + δ2 < 9 + 6δε + (δε)2

把 9 消掉,再同除以 δ

δ < 6ε + δε2

哇哈哈,我們已經算出 δ 的條件了!

所以

極限的絕對值為零,則極限為零。

有些概念已超出本節範圍。等日後我們介紹偏導數再進行驗證。

可微必連續

如果順著看有點卡卡,不妨倒著看。邏輯推理是由上而下,但倒著看較能發現證明策略。

若函數 fa 處的導數存在,則 fa 處連續。

首先,因為函數 fa 處的導數存在,因此乘以零之後等於零。

為了把惱人的分母 (xa) 消掉,我們利用了

二個極限都存在,可以合併。

因為 xa,可以安心消掉 (xa)

現在是該把 - f(a) 消掉的時候了。等號兩邊同加

注意 f(a) 是常數。把該合併的併一併就收工了。

極限值等於函數值,故函數在此連續。

導函數

導函數的記法

拉格朗日Joseph-Louis Lagrange)把函數 f 的導函數記做

f

黑維塞將它記為

D f

設自變數為 x,若要把函數展開為自變數的表達式,萊布尼茲Gottfried Wilhelm Leibniz)將它記為

這種記法便於記憶導數的計算法則,也揭露了導數實為微分的商,也表明了微分與差分的緊密聯結。

黑維塞將它記為

Dx f(x)

為了方便,有時我們會把函數值指定到一個變數,例如 y = f(x)。此時導函數 f′(x) 也可寫做

或者

Dx y

導函數的定義

對於函數 f,在其定義域中找到任一點 x 都能給出斜率函數,即 \eqref{slope} 式。雖然 a 不屬於斜率函數的定義域,卻是定義域的極限點。\eqref{limit-slope} 式這極限存不存在,端看上下極限是否等值。所以我們可以定義一個函數 f′,使其在導數存在時回傳導數。

定義域是由那些導數存在的點,即斜率函數的極限存在的點。

導函數的另一種定義

對於函數 f,文獻中也常見這種定義。

這可以馬上由導數的另一種定義得證。

高階導數

把導函數拿來微分,結果就是二階導數。

當然也可以建構二階導函數。

的確右式的 d2 / dx2 看起來很奇怪,尤其是「分母」很容易誤導人,但這是微積分學界流傳已久的習慣。我還是建議寫做

f″ = D f′ = D2 f

有一階導數不代表在該處就有二階導數。例如函數 f(x) = x |x| 在實數上可導,導函數為 f′(x) = 3 |x|。然而 f 在 0 處並不可導,因此二階導數

f(0)

不存在。

當然我們也可以繼續定義三階導函數 f。然而,符號的問題出現了。難道 100 階導數要撇 100 撇嗎?採用拉格朗日記法的作者對於函數 fn 階導函數,可以寫做

f(n)

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