微分法則

我們已經了解微分的定義,但是每次都要透過定義求導函數是不便的。我們藉由推導一些微分法則,避免繁雜的極限運算。本文刻意以導數是否存在為推論基礎,避免落入函數可不可微的窠臼。絕對值函數可不可微?

基本狀況

我們模仿證明極限運算法則的法子,逐步證明微分法則。往後我們很少從導數的定義來計算了。

有一數 a,則

Dx a = 0

Dx x = 1

常數法則

幾何表述就是水平線的斜率為零。

自身法則

萊布尼茲的記法看起來很有說服力。

線性法則

線性映射滿足加性齊次性

設有二個函數 fg,另有一數 b

Dx (f(x) + g(x)) = f′(x) + g′(x)

Dx (b f(x)) = b f′(x)

加法法則

設有一數 a,此數都屬於這二個函數的定義域,則

\begin{equation} f' \left( a \right) + g' \left( a \right) = \lim_{x \to a} \frac {f \left( x \right) - f \left( a \right)} {x - a} + \lim_{x \to a} \frac {g \left( x \right) - g \left( a \right)} {x - a} \label{sum-deriv} \end{equation}

目前唯一的挑戰就是要把這二個極限合併,因此我們仍需要一個條件──導數 f′(a)g′(a) 必須存在。於是 \eqref{sum-deriv} 式就變成

加減號挪一下位子就可以了。

Dx (f(x) + g(x))|x = a = f′(a) + g′(a)

齊次法則

設數 a 在函數 f 的定義域中。

因此只要導數 f′(a) 存在,就有

我們不需要額外證明減法法則,因為我們可以加上減數的 -1 倍。另外我們也可以直接推論

Dx (a f(x) + b g(x)) = a f′(x) + b g′(x)

乘法法則

設有二個函數 fg

Dx (f(x) g(x)) = f′(x) g(x) + f(x) g′(x)

對於任意數 a,若 a 都屬於這二個函數的定義域,則

我們需要煩惱怎麼處理分子。

f(x) g(x) − f(a) g(a) = (f(x) − f(a)) g(a) + f(x) (g(x) − g(a))

我們為兩邊取極限,做出導數的樣子。

看起來很複雜,但是只要 f′(a)g′(a) 存在,就可以解開了。

  • 加號左邊
    • f′(a) 存在
    • g(a) 是常數
  • 加號右邊
    • ,因為可微必連續
    • g′(a) 存在

所以

倒數法則

我們刻意不證明複雜的 1 / f(x),而是 1 / x。等一下我們就會介紹鏈式法則,變數代換就像一塊小蛋糕。

D x-1 = -x-2

根據定義,若 a 非零,則

我們進行整理。

因為 xa,所以

取極限即得

鏈式法則

(fg)′(x) = f′(g(x)) g′(x)

我們由導數的定義開始。

有些證明會寫下

再進行下一步。這樣可能會有問題,因為如果 ga 點的鄰域都是平坦的,則 g(x) − g(a) 會縮到零,造成分母為零的尷尬局面。

為了克服所有的地形,我們設立一個分段定義函數。

即使 ga 的鄰域 平坦,也會因 u = g(a) 導致 Q(u) = f′(g(a))一天又平安的過去了。

g′(a) 存在,則 g 必在 a 點上連續。

下面這個式子看來有些弔詭。

這個推論是正確的。倘若 f′(g(a)) 不存在,因為 g′(a) 存在而 (fg)′(a) 不存在。

(fg)′(a) = f′(g(a)) g′(a)

推論

以上的法則都必須由導數的定義證明。爾後我們計算導函數無須直接採用導數的定義了。不過實務上,我們還會遇到一些常見的 patterns,所以再證明一些定理。

冪法則

自然數冪法則

n 是自然數,則

Dx xn = nxn−1(*)

為了簡化計算,我們用遞迴的方式解題。首先,我們知道

Dx x = 1

而對於自然數 n,假設 (*) 式成立,則我們利用

xn+1 = xn x

算出

Dx xn+1 = nxn−1x + xn = (n + 1) xn

(*) 式對 n + 1 也成立,故由數學歸納法得證。

整數冪法則

n 是整數,則

Dx xn = nxn−1

我們已經討論過 n 是自然數的狀況了,而零次方的狀況顯然成立。現在我們只需要討論負整數的狀況。若 n 為負整數,則

xn = (x-n)-1

其中 -n 是自然數。因此由倒數法則自然數冪法則

Dx xn = -(x-n)-2 (-nx-n−1) = nxn−1

我們先不證明指數非整數的狀況,因為這需要指數函數對數函數來定義。

除法法則

顯然

所以由乘法法則倒數法則

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