反導函數與雅量

學妹拿了一張微積分考卷,白色的底子帶著黑色的題目與滿江紅的批閱。當她拿給我們看時,一位數學愛好者說:

y = cos x

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = -\frac{y'}{y}
\int \tan x\,dx = -\ln \left| y \right| = \ln \left| \sec x \right|.

我說:

y = sin x

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos x \sin x}{\cos^2 x} = \frac{yy'}{1 - y^2}

	\begin{align*}
		\int \tan x\,dx &= \int \frac{y}{1 - y^2} dy \\
			&= -\frac{\ln \left( 1 - y^2 \right)}2 \\
			&= -\frac{\ln \left( \cos^2 x \right)}2 \\
			&= \ln \left| \sec x \right|.
	\end{align*}
	

一位外號叫大怪客的同學緊接著說:

y = tan x,則 y′ = y2 + 1。


	\begin{align*}
		\int \tan x\,dx &= \int \frac{y}{y^2 + 1} dy \\
			&= \frac{\ln \left( y^2 + 1 \right)}2 \\
			&= \frac{\ln \left( \sec^2 x \right)}2 \\
			&= \ln \left| \sec x \right|.
	\end{align*}
	

我們不禁哄堂大笑,同樣的一題,每個人卻有不同的感覺。那位朋友連忙把考卷用 L 夾夾好,她覺得 tan 就是 tan,不是 sin/cos,也不是 y,更不是 sec2 的反導函數。

如果他能從老把戲解題,你又何必要他走向法國佬的新方法呢?你聽你的 Bronstein,他看他的 Moses,彼此都會有等量的 pass 的感受。人與人偶有摩擦,往往都是由於缺乏那分雅量的緣故;因此,為了避免學生來要分數,增進和諧,我們改考卷的時候必須努力培養雅量。

問題的問題

  1. 第一個答案是 A 的問題是哪一個?
    1. 1
    2. 2
    3. 3
    4. 4
  2. 唯一的連續兩個具有相同答案的問題是
    1. 5, 6
    2. 6, 7
    3. 7, 8
    4. 8, 9
  3. 本問題答案和哪一個問題的答案相同?
    1. 4
    2. 9
    3. 8
    4. 2
  4. 答案是 A 的問題的個數是
    1. 5
    2. 4
    3. 3
    4. 2
  5. 本問題答案和哪一個問題的答案相同?
    1. 1
    2. 2
    3. 3
    4. 4
  6. 答案選 A 的問題的個數和答案選什麼的問題的個數相同?
    1. C
    2. C
    3. D
  7. 按照字母順序,本題答案與下一題相差多少?(A 與 B 之間,或 B 與 A 之間均相差 1)
    1. 3
    2. 2
    3. 1
    4. 0
  8. 十道題中答案為母音的題數為
    1. 0
    2. 1
    3. 2
    4. 3
  9. 十道題中答案為子音的題數
    1. 合數
    2. 質數
    3. 小於 5
    4. 平方數
  10. 本題答案為
    1. A
    2. B
    3. C
    4. D

本題組取自此處。以下詳解中,確定的答案都強調標示。

若第 7 題的答案為 C,則第 8 題為 B 或 D,否則第 8 題必為 D。

第 4 和第 8 題都問 A 的個數,所以 A 只可能有二或三個。若 A 有二個,則第 8 題為 C,為第 7 題所不允許。因此 A 有三個,第 8 題為 D,第 4 題為 C,第 9 題為 B

第 2 題暗示前五題內相鄰二題答案相異,所以第 3 題必與 2、4 二題相異。又第 8 題非 C 且第 9 題為 B,第 3 題必為 B。此時因為 3、4 二題皆非 A,第 1 題只有 A、B 二種可能。同樣地,第 5 題也只有 A、B 二種可能。

假設第 1 題為 B,則第 2 題為 A。此時第 5 題無選項可選,產生矛盾。所以第 1 題只好為 A

第 2 題遭 1、3 二題夾殺,又 8、9 答案相異,所以第 2 題為 C。這還能推論出二題的答案。

  • 第 5 題為 A,因為第 2 題非 B。
  • 因 7、8 二題相同,所以第 7 題為 D

此時只剩 6、10 二題未作答。因第 6 題遭夾殺,可提早推論出 A 的個數與 C 的個數相同,故這二題必定一為 A,另一為 C。又第 5 題的 A 阻止了第 6 題的 A,所以第 6 題為 C,第 10 題為 A,湊足三個 A 與三個 C。答畢。

唯一解為 ACBCA CDDBA。

建構式數學

公元 1999 年,教育部推動建構式數學。我躬逢其盛,恰好踏入小學。同胞們印象深刻也最為詬病的莫過於乘法。

在改革以前,學生必須背誦九九表。九九表存在了約 3000 年,配合十進制與算籌,為東亞算學的基礎。

改革後,九九表成為校園內的禁忌。當學生面對

7 × 9

若在作業本寫下

7 × 9 = 63

只會換來一個

學生必須寫下

7 × 1 = 7
7 × 2 = 14
7 × 3 = 21
7 × 4 = 28
7 × 5 = 35
7 × 6 = 42
7 × 7 = 49
7 × 8 = 56
7 × 9 = 63

這是一場災難。對數學和程式來說,可靠和速度都很重要,不可偏廢;就好像談戀愛,堅貞和吸引力都是關鍵。

建構式數學真的很糟糕嗎?

不,建構式數學非常可靠。它在台灣造成問題,是因為數學的速度被刻意忽略了。數學的速度也是很重要的,加、解密的時間複雜度不同,是 RSA 的賣點。

此外,給 7 × 9 = 63 一個大叉不合理。

算術的建構

以現代數學而言,建構式數學還幹得不夠徹底。所有的數學實體都是集合,序數則是在集合論上玩弄算術。然而這樣很容易嚇跑小學生,所以我們可以從看起來比較像是人話的皮亞諾公理出發。

  1. 0 是自然數。
  2. 每個自然數 A 都有一個後繼 suc A,而 suc A 也是個自然數。
  3. 0 不會是某個自然數的後繼。
  4. 如果 suc A = suc B ,則 A = B
  5. 任何關於自然數的敘述,如果對 0 而言成立,而且只要對 n 成立就對 suc n 成立,那麼這個敘述對所有的自然數都成立。
以上五條聯結是 Metamath 中嚴密的集合論推理。最後一條確立了數學歸納法,建議推遲到中學再處理。

遞迴

現代數學已經有超限遞迴了,所以 Metamath 中的遞迴的定義才會這麼長。在此我們只討論自然數的情形,此時 Metamath 中的遞迴的行為就如同以下這支 JavaScript 程式。

function rec(F, I)
{
	return function(A)
	{
		for (var k = 0; k < A; ++k)
			I = F(I);
		return I;
	}
}

如果這樣看了還是沒感覺,那就只好舉例了。一例勝千言?

(rec({⟨x, y⟩ ∣ y = suc x}, 1) ‘2) = suc suc 1 = 3(1)

其中 {⟨x, y⟩ ∣ y = suc x} 的樣子有點可怕,它只是個函數,滿足 {⟨x, y⟩ ∣ y = suc x} ‘A = suc A

加法的建構

直接定義 + 為一個集合是比較到位的集合論作法,但可能會嚇到觀眾。所以請容我偷賴,直接定義加法的結果

(A + B) = (rec({⟨x, y⟩ ∣ y = suc x}, A) ‘B)

也就是以 A 為啟始值,執行 B 次 suc 的結果。如此 (1) 式就可以簡化為

(1 + 2) = 3

乘法的建構

我們如法炮製。

(A · B) = (rec({⟨x, y⟩ ∣ y = (x + A)}, 0) ‘B))

也就是以 0 為啟始值,加了 BA 的結果。所以 (2 · 3) 會展開為 (((0 + 2) + 2) + 2)

給 7 × 9 = 63 一個大叉不合理

因為你必須也給 7 + 9 = 16 一個大叉

我的教學態度

在批評之後,作為負責任的反對黨,我要提出我心目中的教學方法。

查表是正確的方法

在西方有了天文、地理的大發現之後,因應曆算、製圖等需求,要有大量的乘除、開方等運算。為了降低計算的時間複雜度,數學家先算出對數表供人查詢。直到 FFT 的發現與計算機的普及才逐漸式微。

如果是要算數,而不是證明,查表能得到答案,而且不可恥。

要教學生背誦以外最快的算法

除了背誦九九表之外,我們應該教學生背誦以外最快的算法——古埃及乘法

7 × 1 = 7
7 × 2 = 14
7 × 4 = 28
7 × 8 = 56

7 × 9 = 63

沙盒

字型測試

國際化

Whitney, Γουίτνεϊ, and Уитни

MathJax

本站支持開放標準,對 Firefox 顯示 MathML。但是它的字型處理不夠完美(謎:是你有潔癖!),因此我在 CSS 中動了些手腳。

LaTeX 源碼

\[ \varnothing = \rm V \backslash \rm V \]
\[ e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta \]
\[ a \ngeq b \ngeqq c \]

Sophomore’s dream

證明

證明的關鍵在於:

  • 寫下 xx = exp(−x log x)
  • exp冪級數展開 exp(−x log x)
  • 逐項積分。
  • 換元積分

xx 展開為

逐項積分得

接著我們進行換元。設 y = −(n + 1) log x,因此 。所以

Γ 函數與階乘的關係

諸項相加並設 k = n + 1 即得原式