複數

不像大部份的教科書,我們追隨 Metamath 的腳步,以複數為算術的基礎,再取出實數、有理數、整數等子集。這樣在集合論上比較容易操作,而且可以不依靠幾何就建構出三角函數——我們還沒碰到度量空間,幾何根本還沒被定義呢!

公元 2012 年,數學界在複數的公理化有長足的進步。Eric Schmidt 證明了在 Metamath 的複數 23 條公理中,只有「複數乘法有交換律」可能是多餘的。很多有趣的性質,如非零複數有倒數,都能從這些公理推論出來。

歷史

雖然 ix2 + 1 = 0 的根,但是在公元 1500 年以前,數學家面對這個方程和現代的國中生一樣,「無解」。虛數 i 其實誕生於三次方程。

公元 1545 年,義大利人卡爾丹諾Gerolamo Cardano)在《大術》(拉丁文:Ars Magna)提出了三次方程的解法。公式的推導僅用到了實數的運算,但是求解過程卻必須進行複數的運算。

x3 − 15 x − 4 = 0(*)

為例,我們看看拒絕複數會造成什麼矛盾。

x = u + v
u3 + v3 + 3 u v (u + v) − 15 (u + v) − 4 = 0
3 u v − 15 = 0
u3 v3 = 53
u3 + v3 = 4
由根與係數的關係得 u3v3 為以下二次方程的解
y2 − 4 y + 125 = 0(†)
解二次方程 (†)
\[y = 2 \pm \sqrt{-121}\]

方程 (†)「無解」,導致方程 (*) 跟著遭殃。然而一次因式檢驗法卻告訴我們

x3 − 15 x − 4 = (x − 4) (x2 + 4 x + 1)

因此 4 顯然是方程 (*) 的解啊!所以不可以貿然歧視 \(\sqrt{-121}\),只好繼續算下去了。

有了複數,我們知道 y = 2 ± 11i。設

u3 = 2 + 11i
v3 = 2 − 11i

不失一般性。由代數基本定理可知 uv 各有三解。雖然看似有九種組合,不過我們仍有 u v = 5 這個條件。過濾後留下三組合理的 u + v = x 為方程 (*) 的解。

其中 u 有一解為

u0 = (2 + 11i)1/3 = 2 + i

因此方程 (*) 的一解為

\[u_0 + v_0 = u_0 + \frac 5 {u_0} = 2 + {\mathsf i} + 2 - \ii = 4\]

即一次因式檢驗法給出的解。另外兩解也是實數,你不妨猜猜看!

提示:

\[\left( \frac {1 + \sqrt 3 \ii} 2 \right)^3 = 1\]

詳見陳鳳珠〈虛數 \(\sqrt{-1}\) 的誕生〉。