複數的建構

在現代數學中,所有數學實體都可視為集合。所以在接下來的 23 條公理其實可以籍由定義 ℂ, ℝ, 0, 1, i, +, ·, < 這八者分別為某特定的集合,然後再證明出這 23 條定理。如此就是在集合論的基礎上建構出複數這個集合,減少當代數學所需要的前提,也能面對結構主義者。

若你不喜歡與集合打交道,可以跳過這一節。我們會把建構過程封裝起來。你可以直接從這 23 條公理出發,窺探算術的每一個環節。

複數 23 條公理

複數是集合
ℂ ∈ V
實數是複數的子集
ℝ ⊆ ℂ
1 是複數
1 ∈ ℂ
i 是複數
i ∈ ℂ
複數加法有封閉性
((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (A + B) ∈ ℂ)
實數加法有封閉性
((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (A + B) ∈ ℝ)
複數乘法有封閉性
((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (A · B) ∈ ℂ)
實數乘法有封閉性
((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (A · B) ∈ ℝ)
乘法有交換性
((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (A · B) = (B · A))
加法有結合性
((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ C ∈ ℂ) → ((A + B) + C) = (A + (B + C)))
乘法有結合性
((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ C ∈ ℂ) → ((A · B) · C) = (A · (B · C)))
分配律
((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ C ∈ ℂ) → (A · (B + C)) = ((A · B) + (A · C)))
i2 是 -1
((i · i) + 1) = 0
1 不是 0
1 ≠ 0
1 是實數乘法單位元
(A ∈ ℝ → (A · 1) = A)
實數有相反數
(A ∈ ℝ → ∃x ∈ ℝ (A + x) = 0)
非零實數有倒數
((A ∈ ℝ ∧ A ≠ 0) → ∃x ∈ ℝ (A · x) = 1)
複數可由兩實數表達
(A ∈ ℂ → ∃x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ A = (x + (i · y)))
實數排序有三一性
((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (A < B ↔ ¬ (A = BB < A)))
實數排序有遞移性
((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ C ∈ ℝ) → ((A < BB < C) → A < C))
加法保序
((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ C ∈ ℝ) → (A < B → (C + A) < (C + B)))
乘正保序
((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → ((0 < A ∧ 0 < B) → 0 < (A · B)))
實數有完備性
((A ⊆ ℝ ∧ A ≠ ∅ ∧ ∃x ∈ ℝ ∀yA y < x) → ∃x ∈ ℝ (∀yA ¬ x < y ∧ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃zA y < z)))

建構策略

有些文獻直接定義 ℂ = (ℝ × ℝ),但這樣並不科學,會破壞ℝ ⊆ ℂ 的規矩。因此權宜之計是定義 ℂ = (R × R)ℝ = (R × {0R}),待會兒再傷腦筋要怎麼做出 R

我們的建構主線是自然數 → 正有理數 → 正實數 → 實數 → 複數。把正負的問題推遲到實數階段再處理,大大減輕了由自然數建構正有理數的負擔。

自然數

序數可以由良序集定義,再配合超限遞迴,使得序數算術得以被嚴格定義。為了方便起見,我們定義的偽自然數集合特別把空集合(序數 0)排除,以便接下來建構偽正有理數時不需要擔心除以零的問題。

N = (ω ∖ {∅})

此時要特別小心的是 N 已經不是序數了,所以序數運算勢必要限制後才能在 N 上使用。

+N = ( +o ↾ (N × N))
·N = ( ·o ↾ (N × N))
<N = ( E ∩ (N × N))

正有理數

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