2012 教材彙整

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事前不知道醫三的課業這麼繁忙,所以今年無法如期出版新的微積分教材。在此我整理去年的教材,希望能方便大家取用。如有訛誤敬請不吝指正。

去年的影音講解都在這裡

本次 () 醫學系期末考的範圍為微積分全部;牙醫系從積分開始,且要考統計,但不考微分方程。

講義

  1. 微積分的基石
  2. 微分
  3. 微分的應用
  4. 積分
  5. 符號積分
  6. 有理函數的積分
  7. 無理函數的積分
  8. 數值積分
  9. 微分方程

補充資料

上課實況

符號積分,攝於
微分、有理函數的積分,攝於

有理函數的積分

本段只作說明用途,所以符號不是用得很嚴謹。

微分代數的劉維爾定理,我們可以推論出有理函數反導函數若為初等函數,則必為有理函數加上有理函數的對數線性組合。意即對於有理函數 f,在代數閉包存在一群有理函數 gk 與有理函數 h 使得

c積分常數,則

有經驗的同學也許會納悶為何沒有 arctan。實數的代數閉包是複數,而在複數域上,arctan 可以由 ln 表達。我們利用這個原則分支

我們喜歡使用很少課本提及的 Hermite reduction 是因為它可以預先取出反導函數的有理部,並且讓剩下的被積函數分母為 squarefree 多項式。這樣比單單使用部份分式法快上許多。

例題 1

本題取自 2011 期末考。

求下列不定積分。

傳統作法

我們先預想部份分式分解後的結果。

其中 A, B, C, D, E 為待定常數。

A 算是最容易算出來的。這是二種作法的共同步驟,所以不分析成本。

接下來進行有點崩潰的一連串的運算。

部份分式分解完成。

我們分析一下成本。

  • 展開 57 (x2 + 4)2 + x2 + 16x
  • −57x4 − 287x2 + 2704x − 912 除以 x − 3
  • −57x3 − 171x2 − 800x + 304 除以 x2 + 4

接著我們逐項積分。

我們利用 Dx (x2 + 4) = 2x

θ = arctan(x/2),使得 x = 2 tan θ

還記得三角函數的積分嗎?

其中 c 是積分常數。接下來,我們要把 θ 換回 x 了。還記得正切半角公式嗎?

終於可以合併囉!原式等於

Hermite reduction

U = x − 3,V = x2 + 4。我們開始進行輾轉相除法。取 UV′ 除以 V

UV′ = 2V − 6x − 8

此時我們也知道

6x + 8 = 2VUV(*)

再以 V 除以 2VUV′ 得

18V = (3x − 4) (2VUV′) + 104

所以

104 = (3x − 4) UV′ − (6x − 26) V(†)

至此,我們希望能把 A = x2 + 16x 寫成 UV′ 和 V 的線性組合,即

其中 BC 是多項式。我們先將 A 除以 V 獲得一次以內的餘式,再以 (*)(†) 表達餘式。

我們算出了

有理部已經抓出來了,因為

接著這只是一次式的運算。

我們已經知道這個積分的有理部與超越部了。雖然好像執行了很多次多項式的運算,但是因為次數控制得很低,所以成本較低。

分解部份分式。

因為 x2 + 4 = (x + 3) (x − 3) + 13,所以

綜合諸式得

逐項積分。

最後得到相同的答案。

例題 2

求下列不定積分。

Hermite reduction 專門處理這種題目。設 U = (x − 1) (x − 2)2V = x − 3。

UV′ = (x2 − 2x + 2) V + 2

我們得到了較簡單的子問題。這回,我們設 U = x − 1,V = (x − 2) (x − 3)。

UV′ = 2V + 3x − 7

9V = (3x − 8) (UV′ − 2V) − 2

2 = (3x − 8) UV′ + (7 − 6x) V

為了簡潔,我們設 2A = 2x4 + 6x3 − 235x2 + 562x − 338。

369x − 664 = 123 (3x − 7) + 197

綜合得原式等於

如果需要整理有理式的話,就寫做

我們已經完成了 Hermite reduction,接著進行部份分式分解。因為分母已經分解好了,所以我們直接計算每項的係數。

所以設 c 為積分常數,原不定積分為

無理函數的積分

求下列不定積分。

y = arsinh x. 此時 sinh y = x, , dx = cosh y dy.

c 為積分常數。

作者: 何 震邦

我叫何震邦,目前就讀臺北醫學大學醫學系。在漢字不宜的場合,我也叫 Chen-Pang He。各位看倌可以在 FacebookGoogle+ 找到我。詳細資訊請洽本站的《關於》頁面。

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