2014 期中考

本次考試本質上有二份試卷。牙醫系考一份 6 題的考卷,而醫學系也用同一份,但沒有第 6 題;其他系考另一份 6 題的考卷。每題 20 分。

醫牙的卷子比小考難。很遺憾,殺到大家了。<(_ _)>

導函數

牙醫系第 2 題

Use the definition of the derivative \displaystyle g' \left( t \right) = \lim_{h \to 0} \frac {g \left( t + h \right) - g \left( t \right)} h given that to find the derivative of g(t) = 1/t2.

首先,代入題目的定義。


		\begin{align*}
			g' \left ( t \right)
				&= \lim_{h \to 0} \frac {g \left( t + h \right) - g \left( t \right)} h \\
				&= \lim_{h \to 0} \frac {\left( t + h \right)^{-2} - t^{-2}} h \\
				&= \lim_{h \to 0} \frac {t^2 - \left( t + h \right)^2} {ht^2 \left( t + h \right)^2} \\
				&= -\lim_{h \to 0} \frac {h \left( 2t + h \right)} {ht^2 \left( t + h \right)^2}
		\end{align*}
		

我們發現有個部份分式分解可以簡化題目。

 \frac {2t + h} {t \left( t + h \right)} = \frac1t + \frac 1 {t + h} 

所以


		\begin{align*}
			g' \left( t \right)
				&= -\frac1t \lim_{h \to 0} \frac 1 {t + h} \left( \frac1t + \frac 1 {t + h}\right) \\
				&= -\frac1t \left( \frac1t + \lim_{h \to 0} \frac 1 {t + h}\right) \lim_{h \to 0} \frac 1 {t + h}
		\end{align*}
		

我們知道

\lim_{h \to 0} \frac 1 {t + h} = \frac1t 

所以


		\begin{align*}
			g' \left( t \right)
				&= -\frac1t \left( \frac1t + \frac1t \right) \frac1t \\
				&= -\frac 2 {t^3}
		\end{align*}
		

牙醫系第 3 題

Given \displaystyle f \left( x \right) = \frac {x \sin x} {1 + \cos x} , find f′(x).

這個應該很簡單吧?

 f' \left( x \right) = \frac {\sin x + x \cos x} {1 + \cos x} + \frac {x \sin^2 x} {\left( 1 + \cos x \right)^2} 

本文未完

2014 期中小考

醫學系的課程內容與其他系有很大的差異,因此考試排程也不同。目前尚未撰寫醫學系的詳解。

本文還在施工中。

導函數

牙醫系第 2 題

Use the definition of the derivative \displaystyle f' \left( x \right) = \lim_{h \to 0} \frac {f \left( x + h \right) - f \left( x \right)} h given that to find the derivative of f(x) = cos(x).

本題同去年的第 2 題,只是用詞不同。

其他系第 2 題

given that to find the derivative of f(x) = x3 + 7x.

代入題目給的定義。

 f' \left( x \right) = \lim_{h \to 0} \frac {\left( x + h \right)^3 + 7 \left( x + h \right) - \left( x^3 + 7x \right)} h 

對於記得一些乘法公式的學生來說,同次項相減算起來比較快。

(x + h)3x3 = 3x2h + 3xh2 + h3

(x + h)3 + 7(x + h) − (x3 + 7x) = (3x2 + 7)h + 3xh2 + h3

牙醫系第 5 題

Logarithmic differentiation. Let and find f′(x)

對數微分法

乘法法則

導數

第 3 題

Given , find f′(3).

切線與法線

牙醫系第 4 題

Find the equation of the tangent line of the family of curves y3 + xy = sec(xy2) + c at (1, 1).

Hint

我們將這個曲線族對 x 隱微分,即在 (1, 1) 附近將 y 視為 x 的函數。

3y2y′ + y + xy′ = sec(xy2) tan(xy2) (y2 + 2xyy′)

(3y2 + x) y′ + y = sec(xy2) tan(xy2) (y2 + 2xyy′)

代入 (1, 1) 以求取切線斜率。

4y′ + 1 = sec 1 tan 1 (1 + 2y′)

cos2 1 (4y′ + 1) = sin 1 (2y′ + 1)

cos2 1 − sin 1= (2 sin 1 − 4 cos2 1) y

所以切線方程為

其他系第 4 題

Find the equation of the normal line of the family of curves y3 + xy = xy2 + c at (3/16, 2).

我們將這個曲線族對 x 隱微分

3y2y′ + y + xy′ = y2 + 2xyy

(3y2 − 2xy + x) y′ = y2y

代入 (3/16, 2) 以求取切線斜率。

(12 − 9/16) y′ = 2

y′ = 32/183

所以法線斜率為 -183/32,而法線方程為

應用題

牙醫系第 6 題

Electron speed. An electron with a whose mass of is 9.1 × 10-31 kg and a charge of is -1.6 × 10-19 C travels in a circular path with no loss of energy in a magnetic field of 0.05 T that is orthogonal to the path of the electron. If the radius of the path is 0.002 m, what is the speed of the electron?

磁力提供電子繞圈的向心力。

mv2 / r = q |v × B|

其中 m 為質量,v 為速度,q 為電量,B 為磁場;向量以粗體表示,而純量(包括向量的量值)則否。因為速度與磁場垂直,所以

|v × B| = vB

此時本題由向量問題簡化為純量問題。

mv2 / r = qvB

v = qrB / m

代入題目的數據。

v = (1.6 × 10-19 C) (0.002 m) (0.05 T) / (9.1 × 10-31 kg)

v ≈ 1.76 × 107 m/s

其他系第 6 題

In the late 1830s, French physiologist Jean Poiseuille discovered the formula we use today to predict how much the radius of a particular clogged artery decreases the normal volume of flow. His formula,

V = kr4

says that volume of fluid flowing through a small pipe or tube in a unit of time at a fixed pressure is a constant times the fourth power of the tube’s radius r. How dose does a 10% decrease in r affect V?

官方解法

由題意知

Δr = 0.05r

我們利用

得出

ΔV ≈ 0.2kr4 = 0.2V

V 增加 20%

直接解法

設原有的半徑為 r0,原有的體積為 V0

V0 = kr04

因為半徑增加 5%,即

r = 1.05r0

所以

V = k (1.05r0)4 = 1.054 V0

體積增加 21.550625%

線性回歸

其他系第 1 題

In a study of 12 subjects, a clinical researcher obtained these data relating the ages of a subject pool (in years) to that of their systolic blood pressure (in mmHg):

No. Age (years) BPsystolic (mmHg)
125120
237139
320118
449150
527125
623115
734146
856170
924128
1036137
1122126
1242148
試算表
x y x2 xy
25120 6253000
3713913695143
20118 4002360
4915024017350
27125 7293375
23115 5292645
3414611564964
5617031369520
24128 5763072
3613712964932
22126 4842772
4214817646216
39516221446555349

考卷掃描

2014 微積分小考考卷
2014 微積分小考考卷,300 dpi.

2012 教材彙整

事前不知道醫三的課業這麼繁忙,所以今年無法如期出版新的微積分教材。在此我整理去年的教材,希望能方便大家取用。如有訛誤敬請不吝指正。

去年的影音講解都在這裡

本次 () 醫學系期末考的範圍為微積分全部;牙醫系從積分開始,且要考統計,但不考微分方程。

講義

  1. 微積分的基石
  2. 微分
  3. 微分的應用
  4. 積分
  5. 符號積分
  6. 有理函數的積分
  7. 無理函數的積分
  8. 數值積分
  9. 微分方程

補充資料

上課實況

符號積分,攝於
微分、有理函數的積分,攝於

有理函數的積分

本段只作說明用途,所以符號不是用得很嚴謹。

微分代數的劉維爾定理,我們可以推論出有理函數反導函數若為初等函數,則必為有理函數加上有理函數的對數線性組合。意即對於有理函數 f,在代數閉包存在一群有理函數 gk 與有理函數 h 使得

c積分常數,則

有經驗的同學也許會納悶為何沒有 arctan。實數的代數閉包是複數,而在複數域上,arctan 可以由 ln 表達。我們利用這個原則分支

我們喜歡使用很少課本提及的 Hermite reduction 是因為它可以預先取出反導函數的有理部,並且讓剩下的被積函數分母為 squarefree 多項式。這樣比單單使用部份分式法快上許多。

例題 1

本題取自 2011 期末考。

求下列不定積分。

傳統作法

我們先預想部份分式分解後的結果。

其中 A, B, C, D, E 為待定常數。

A 算是最容易算出來的。這是二種作法的共同步驟,所以不分析成本。

接下來進行有點崩潰的一連串的運算。

部份分式分解完成。

我們分析一下成本。

  • 展開 57 (x2 + 4)2 + x2 + 16x
  • −57x4 − 287x2 + 2704x − 912 除以 x − 3
  • −57x3 − 171x2 − 800x + 304 除以 x2 + 4

接著我們逐項積分。

我們利用 Dx (x2 + 4) = 2x

θ = arctan(x/2),使得 x = 2 tan θ

還記得三角函數的積分嗎?

其中 c 是積分常數。接下來,我們要把 θ 換回 x 了。還記得正切半角公式嗎?

終於可以合併囉!原式等於

Hermite reduction

U = x − 3,V = x2 + 4。我們開始進行輾轉相除法。取 UV′ 除以 V

UV′ = 2V − 6x − 8

此時我們也知道

6x + 8 = 2VUV(*)

再以 V 除以 2VUV′ 得

18V = (3x − 4) (2VUV′) + 104

所以

104 = (3x − 4) UV′ − (6x − 26) V(†)

至此,我們希望能把 A = x2 + 16x 寫成 UV′ 和 V 的線性組合,即

其中 BC 是多項式。我們先將 A 除以 V 獲得一次以內的餘式,再以 (*)(†) 表達餘式。

我們算出了

有理部已經抓出來了,因為

接著這只是一次式的運算。

我們已經知道這個積分的有理部與超越部了。雖然好像執行了很多次多項式的運算,但是因為次數控制得很低,所以成本較低。

分解部份分式。

因為 x2 + 4 = (x + 3) (x − 3) + 13,所以

綜合諸式得

逐項積分。

最後得到相同的答案。

例題 2

求下列不定積分。

Hermite reduction 專門處理這種題目。設 U = (x − 1) (x − 2)2V = x − 3。

UV′ = (x2 − 2x + 2) V + 2

我們得到了較簡單的子問題。這回,我們設 U = x − 1,V = (x − 2) (x − 3)。

UV′ = 2V + 3x − 7

9V = (3x − 8) (UV′ − 2V) − 2

2 = (3x − 8) UV′ + (7 − 6x) V

為了簡潔,我們設 2A = 2x4 + 6x3 − 235x2 + 562x − 338。

369x − 664 = 123 (3x − 7) + 197

綜合得原式等於

如果需要整理有理式的話,就寫做

我們已經完成了 Hermite reduction,接著進行部份分式分解。因為分母已經分解好了,所以我們直接計算每項的係數。

所以設 c 為積分常數,原不定積分為

無理函數的積分

求下列不定積分。

y = arsinh x. 此時 sinh y = x, , dx = cosh y dy.

c 為積分常數。

2011 期中考

這裡包含了 2011 年臺北醫學大學醫學系、牙醫系的微積分期中考。學號為奇數者考 A 卷,偶數考 B 卷。

先前我寫了一篇爛尾的詳解,因為本文尚未完成,請湊合著看。

線性回歸

第 1 題

In a study of five industrial areas, a researcher obtained these data relating the average number of units of a certain pollutant in the air and the incidence (per 100,000 people) of a certain disease:

Units of pollutant345810
Incidence of disease4852587096

Find the equation of the least-squares line y = Ax + B (to two decimal points places.)

Given that A = \frac {n \sum xy - \sum x \sum y} {n \sum x^2 - \left( \sum x \right)^2} and B = \frac {\sum y - A \sum x} n.
試算表
x y x2 xy
3 48 9 144
4 52 16 208
5 58 25 290
8 70 64 560
10 96100 960
303242142162

把這些總和代入公式。


			A = \frac {5 \cdot 2162 - 30 \cdot 324} {5 \cdot 214 - 30^2} = \frac{109}{17} \approx 6.411764705882353 
		

			B = \frac {324 - \left( 109/17 \right) \cdot 30} {5} = \frac{2238}{85} \approx 26.32941176470588 
		

為了避免捨入誤差,我先化簡分式。作答只須估算即可,畢竟題目只要求小數點後二位。

導函數

第 2 題,A 卷

Use the definition of the derivative \displaystyle f' \left( x \right) = \lim_{h \to 0} \frac {f \left( x + h \right) - f \left( x \right)} h to find \displaystyle \frac d{dx} \sin x .

代入題目給的定義。


			\frac d{dx} \sin x = \lim_{h \to 0} \frac {\sin \left( x + h \right) - \sin x} h 
		

和角公式如下。


			\sin \left( x + h \right) = \sin x \cos h + \cos x \sin h 
		

所以


		\begin{align*}
			\frac d{dx} \sin x &= \lim_{h \to 0} \frac {\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x} h \\
			&= \left( \sin x \right) \left( \lim_{h \to 0} \frac {\cos h - 1} h \right) + \left( \cos x \right) \lim_{h \to 0} \frac {\sin h} h
		\end{align*}
		

這帶我們回到二個經典的極限問題。答題時不須證明,可直接代入。


			\frac d{dx} \sin x = \cos x 
		

第 2 題,B 卷

本題同 2013 期中小考的第 2 題

切線與法線

第 3 題,A 卷

Find the equation of the tangent line to the curve y3xy2 + xy = 14 3 at (1, −2).

第 3 題,B 卷

… the normal line ….

我們已經知道切線通過 (1, −2) 了,所以知道斜率就可以代入點斜式,求出切線方程式。

y3xy2 + xy = 3

3y2y′ − (2xyy′ + y2) + (xy′ + y) = 0

(3y2 − 2xy + x) y′ = y2y

 y' = \frac{y^2 - y}{3y^2 - 2xy + x} 
 y' \left( 1, -2 \right) = \frac6{17} 

所以切線方程式為

 y + 2 = \frac6{17} \left( x - 1 \right) 

法線方程式為

 y + 2 = \frac{-17}6 \left( x - 1 \right) 

導數

第 4 題

Given \displaystyle f \left( x \right) = \frac {x^2 \left( 1-x \right)^3} {1+x} , find f′(2)


			f' \left( x \right) = \frac {-2x \left( x-1 \right)^3 - 3x^2 \left( x-1 \right)^2} {x+1} + \frac {x^2 \left( x-1 \right)^3} {\left( x+1 \right)^2} 
		

			f' \left( 2 \right) = \frac{-44}9 
		

第 6 題,A 卷

本題同 2012 牙醫系期中考第 6 題

第 6 題,B 卷

Given f(x) = (x2 + 1)sin x, find f′(π/2)

f(x) = exp(sin x ln(x2 + 1))


			\frac d{dx} \sin x \ln \left( x^2 + 1 \right) = \cos x \ln \left( x^2 + 1 \right) + \frac {2x \sin x} {x^2 + 1} 
		

			f' \left( x \right) = \left( x^2 + 1 \right)^{\sin x} \left( \cos x \ln \left( x^2 + 1 \right) + \frac {2x \sin x} {x^2 + 1} \right) 
		

			f' \left( \frac \pi 2 \right) = \left( \frac {\pi^2} 4 + 1 \right) \left( \frac \pi {\pi^2/4 + 1} \right) = \pi 
		

函數圖形

第 5 題

微分

第 7 題

In the late 1830s, French physiologist Jean Poiseuille discovered the formula we use today to predict how much the radius of a particular clogged artery decreases the normal volume of flow. His formula,

V = kr4

says that volume of fluid flowing through a small pipe or tube in a unit of time at a fixed pressure is a constant times the fourth power of the tube’s radius r. How dose does a 10% decrease in r affect V?

官方解法


				\frac{dV}{dr} = 4kr^3 
			

由題意知

Δr = -0.1r

我們利用


				\Delta V \approx \frac{dV}{dr} \Delta r 
			

得出

ΔV ≈ -0.4kr4 = -0.4V

V 減少 40%

直接解法

設原有的半徑為 r0,原有的體積為 V0

V0 = kr04

因為半徑減少 10%,即

r = 0.9r0

所以

V = k (0.9r0)4 = 0.94 V0


				\frac {V - V_0} {V_0} = 0.9^4 - 1 = -0.3439 
			

體積減少 34.39%

討論

為何二組解差異這麼大?

線性近似

第 8 題

Use the differentials to approximate the quantity \sqrt{4.6} to four decimal points places.

設函數 f \left( x \right) = \sqrt x 線性近似告訴我們

f(x) ≈ f(a) + f′(a) (xa)


		\sqrt x \approx \sqrt a + \frac {x - a} {2 \sqrt a} 
	

x = 4 為起點,


	\begin{align*}
		\sqrt{4.6} &\approx 2 + \frac {4.6 - 4} {2 \cdot 2} = 2.15 \\
		\sqrt{4.6} &\approx 2.15 + \frac {4.6 - 2.15^2} {2 \cdot 2.15} = \frac{3689}{1720} \approx 2.144767441860465 \\
		\sqrt{4.6} &\approx \frac{3689}{1720} + \frac {4.6 - \left( 3689/1720 \right)^2} {2 \cdot \left( 3689/1720 \right)} \approx 2.144761058962219
	\end{align*}
	

小數點下四位已經不動,所以


		\sqrt{4.6} \approx 2.1448 
	

應用題

第 9 題

Water boils at 212℉ at sea level and 200℉ at an elevation of 6000 ft. Assume that the boiling point B varies linearly with altitude α. Find the function B = f(α) that describes the dependence. Comment on whether a linear function gives a realistic model.

因為題目要線性關係,所以設二數 mk 使得

f(α) = mα + k

已知

f(0) = k = 212

已求得 k。又

f(6000) = 6000m + 212 = 200

m 為 -0.002,所以

f(α) = -0.002α + 212

第 10 題

本題同 2012 牙醫系期中考第 10 題

2012 期中考

這裡包含了 2012 年臺北醫學大學牙醫系公衛系保健系醫管系的微積分期中考。因題目大同小異,故合併為一篇文章。公衛、保健二系採用同一份考卷。

第一題考線性回歸,同 2013 小考的第一題

,串場的文件是〈指數函數〉。

導函數

第 2 題

Given f(x) = x3 − 3x2 + 3, use the definition to find f′(x).

代入題目給的定義。

為了簡化計算,讓同次項分別相減,最後再總和。

(x + h)3x3 = 3x2h + 3xh2 + h3

(x + h)2x2 = 2xh + h2

切線與法線

公、保、管第 3 題

Find the equation to the tangent of the curve (x2 + 3) (x − 3)1/2 at x = 4.

牙醫系第 3 題

… at x = 5.

f(x) = (x2 + 3) (x − 3)1/2,則

我們知道 f(4) = 19f′(4) = 35/2,所以此處的切線方程式為

同理,,所以此處的切線方程式為

牙醫系第 7 題

Find the equation of the tangent line to the curve x2 + 3xy + y2 = 5 at (1, 1).

公、保、管第 7 題

… the normal line ….

首先,(1, 1) 的確滿足 x2 + 3xy + y2 = 5。我們對 x 隱微分。

2x + 3y + 3xy′ + 2yy′ = 0

代入 (1, 1)。

5 + 5y′ = 0

所以圖形在此處的斜率為 -1。切線方程式為

y − 1 = -(x − 1)

法線的斜率為 1,所以方程式為

y − 1 = x − 1

導數、二階導數

公、保、管第 4 題

Consider a curve . Find f′(5).

牙醫系第 4 題

… and f″(5).

公、保、管第 6 題

Given f(x) = 2x2+1, find f′(2).

y = x2 + 1,由鏈式法則

因為

所以

f′(x) = (ln 2) x 2y+1 = (ln 2) x 2x2+2

f′(2) = 128 ln 2

牙醫系第 6 題

Given f(x) = ln(sec4(x) tan2(x)), find f′(π/4).

f′(x) = y′ / y

再由乘法法則

y′ = 4 sec4(x) tan3(x) + 2 sec6(x) tan(x)

f′(π/4) = 8

函數圖形

第 5 題

Sketch the graph of and also find the relative extreme points and inflection points at the interval of [-1, 1].

多項式是光滑函數,局部極值只會出現在平坦處,即導數為 0 之處。因此首先我們找出所有平坦處以簡化問題。此外,這個函數是奇函數,省去了一些繪圖的麻煩。

平坦處出現在 0 與 ±2 三處,只有 0 在 [1, -1] 內。我們再進行高階導數測試

由於 f″(0) = 0f‴(0) < 0,所以此處為嚴格遞減的反曲點。

多項式的圖形的反曲點出現在導函數的極值,故只會出現在二階導數為 0 之處。因此我們找出所有這些地方,即 x = 0 或 ,只有 0 在 [1, -1] 內且這個點已討論過是反曲點。

的圖形

線性近似

公、保、管第 8 題

Use the differentials to approximate the quantity to two decimal points places.

牙醫系第 8 題

….

這附近看來沒什麼有希望的點,只好先遷就 嘍!設 ,則

線性近似告訴我們

f(x) ≈ f(a) + f′(a) (xa)

代入題目的函數。

f(5.6) ≈ 2 + f′(4) (5.6 − 4)

小數點後三位已無變化,所以

同理,

小數點後三位已無變化,所以

應用題

牙、公、保第 9 題

When a person coughs, the trachea (windpope windpipe) contracts, allowing air to be expelled at a maximum velocity. It can shown that during a cough the velocity v of airflow is given by the function v = f(r) = kr2(Rr) , where r is the trachea’s radius (in centimeters) during a cough, R is the trachea’s normal radius (in centimeters), and k is a positive constant that depends on the length of the trachea. Find the radius r for which the velocity of airflow is greatest.

首先,變數 r 的自然限制是 0 ≤ rR。此外,vr 的多項式。所以 v[0, R] 的最大值只會出現在端點或平坦處。

我們先考慮端點。

f(0) = f(R) = 0

接著,我們考慮平坦處。為了方便計算,我們把 f(r) 展開。

f(r) = kRr2kr3

這樣微分就容易多了。

f′(r) = 2kRr − 3kr2

解得平坦處在 0 及 2R/3 二處。我們已經討論過 0 這個端點了,而

f(2R/3) = k (2R/3)2 (R/3) > 0

所以最大值發生在 r = 2R/3

醫管系第 9 題

Suppose that during a nationwide program to immunize the population against certain from of influenza, public health officials found that the cost of inoculating x% of the population was approximately million dollars.

  1. What was the cost of inoculating the first 50% of the population?
  2. What was the cost of inoculating the second 50% of the population?
  3. What percentage of the population had been inoculated by the time 37.5 million dollars had been spent?

本題是閱讀測驗,數學很簡單。

  1. C(50) = 50
  2. C(100) − C(50) = 100
  3. 這實質上是解 解得 x 為 40,答案為 40%。

牙醫系第 10 題

A rain gutter is made from sheets of metal 9 in wide. The gutters have a 3-in base and two 3-in sides, folded up at an angle θ (see figure). What angle θ maximizes the cross-sectional area of the gutter?

等腰梯形水槽,下底與兩腰皆三吋長。

[本圖受著作權保護,請勿轉載。]

我們知道 θ 的自然限制是 0 ≤ θ ≤ π。設此梯形的截面積為 A,則

A = 9 (sin θ) (1 + cos θ)

若代入端點,截面積均為 0。我們尋找導數為 0 的點。

解得當 cos θ 為 1/2 或 -1 時,導數為 0。由自然限制得 θ 分別為 π/3 與 π,其中 π 是端點,已經討論過了。我們確認當 θ 為 π/3,A > 0,大於端點的值。所以最大值發生在 θ = π/3

公、保第 10 題

Several mathematical stories originated with the second wedding of the mathematician and astronomer Johannes Kepler. Here is one: While shopping for wine for his wedding, Kepler noticed that the price of a barrel of wine (here assumed to be a cylinder) was determined solely by the length d of a dipstick that was inserted diagonally through a hole in the top of the barrel to the edge of the base of the barrel (see figure). Kepler realized that this measurement does not determine the volume of the barrel and that for a fixed value of d. The volume varies with the radius r and height h of the barrel. For a fixed value of d, what is the ratio r/h that maximizes the volume of the barrel?

圓柱形的酒桶

[本圖受著作權保護,請勿轉載。]

設體積為 V,則

V = πr2h

我們希望只留下單一變數,rh 其一。平方項好欺負!

r2 = d2h2

所以

V = π (d2hh3)

其中 h 的自然限制是 0 ≤ hd。代入端點會使得 V 為 0。接著我們對 h 微分得

導數為 0 的點有 ,但負不合。將 代入得

並且造成 V > 0,故此處確定是最大值。所以可以安心作答。

醫管系第 10 題

Based on a study conducted in 1997, the percentage of the U.S. population by age affilcted with Alzheimer’s disease is given by the function

P(x) = 0.0726x2 + 0.7902x + 4.9623 where 0 ≤ x ≤ 25

where x is measured in years, with x = 0 corresponding to age 65 yr. Show that P is an increasing function of x on the interval (0, 25). What does your result tell you about the relationship between Alzheimer’s disease and age for the population that is aged 65 year and or older?

P 在 [0, 25] 等於多項式,所以在 (0, 25) 可微。我們觀察它的導函數。

P′(x) = 0.1452x + 0.7902 where 0 ≤ x ≤ 25

顯然 P′(x) > 0,所以 P 在區間 (0, 25) 內遞增。這意味著 65 歲以上的人口,得到阿茲海默症的比例隨年齡提高。

2013 期中小考

這是 2013 年臺北醫學大學牙醫系公衛系保健系的微積分第一次平時考解答。

,未善用電子白板,所以不是很完整。

線性回歸

第 1 題

In a study of five industrial areas, a researcher obtained these data relating the average number of units of a certain pollutant in the air and the incidence (per 100,000 people) of a certain disease:

Units of pollutant3.44.65.28.010.7
Incidence of disease4852587096

Find the equation of the least-squares line y = Ax + B (to two decimal points places.)

Given that and .
試算表
x y x2 xy
3.4 48 11.56 163.2
4.6 52 21.16 239.2
5.2 58 27.04 301.6
8 70 64 560
10.7 96114.491027.2
31.9324238.252291.2

把這些總和代入公式。

為了避免捨入誤差,我先化簡分式。作答只須估算即可,畢竟題目只要求小數點後二位。

導函數

第 2 題

Use the definition of the derivative to find .

代入題目給的定義。

和角公式如下。

所以

這帶我們回到二個經典的極限問題。

答題時不須證明,可直接代入。

切線與法線

第 3 題

Find the equation of the tangent line and the normal line of the curve x2y3 + xy = 10 at (1, 2).

首先,(1, 2) 的確滿足 x2y3 + xy = 10

我們將這個關係進行對 x隱微分,即在 (1, 2) 附近將 y 視為 x 的函數。

3x2y2y′ + 2xy3 + xy′ + y = 0

(3x2y2 + x) y′ + 2xy3 + y = 0

將 (1, 2) 代入。

13 y′ + 18 = 0

所以圖形在 (1, 2) 處的斜率為 -18/13,因此切線為通過 (1, 2) 且斜率為 -18/13 的直線。此直線的方程式為

因為直角三角形的母子相似,法線斜率為 13/18,它的方程式是

函數圖形

第 4 題

Sketch the graph of f(x) = 6x5 − 5x3 and also find the relative extreme points and inflection points.

多項式是光滑函數,局部極值只會出現在平坦處,即導數為 0 之處。因此首先我們找出所有平坦處以簡化問題。此外,這個函數是奇函數,省去了一些繪圖的麻煩。

f′(x) = 30x4 − 15x2

顯然平坦處出現在 0 與 三處。我們再進行高階導數測試

f″(x) = 120x3 − 30x

f‴(x) = 360x2 − 30

由於 f″(0) = 0f‴(0) < 0,所以此處為嚴格遞減的反曲點。同理,,所以此處為局部極小值。在 處則為局部極大值。

多項式的圖形的反曲點出現在導函數的極值,故只會出現在二階導數為 0 之處。因此我們找出所有這些地方,即 x = 0 或 x = ±1/2。我們討論過 x = 0 的狀況了。因為 f‴(1/2) = f‴(-1/2) < 0,所以也是嚴格遞減的反曲點。

類型準確值估計值其他特徵
極大值(-0.7071067811865475, 0.7071067811865475) 
反曲點(-1/2, 7/16)(0.5, -0.4375)嚴格遞減
反曲點(0, 0)(0, 0)平坦、嚴格遞減
反曲點(1/2, -7/16)(0.5, -0.4375)嚴格遞減
極小值(0.7071067811865475, -0.7071067811865475) 

此外,為了精準的手繪圖形,我們還需要解出函數的根。本題為特殊的五次函數,碰巧可以求解析解。

6x5 − 5x3 = x3 (6x2 − 5)

可見根在 0 及 。為了繪圖,我們計算近似值。

6x5 − 5x3 的圖形

線性近似

第 5 題

Use the differentials to approximate the quantity to four decimal points places.

我們知道 ,這很適合作為近似的起點。設 ,則

線性近似告訴我們

f(x) ≈ f(a) + f′(a) (xa)

代入題目的函數。

我們開始進行迭代

f(0.089) ≈ 0.3 + f′(0.09) (0.089 − 0.09)

為了避免捨入誤差,我先化簡分式。作答只須估算即可。小數點後四位已無變化,因此

牛頓法

第 6 題

Use Newton’s method to find the real root r of f(x) = x3x − 1 to two decimal points places, given that initial point x0 = 1.5.

牛頓法的迭代公式如下。

代入題目的函數。

進行迭代,直到小數後二位不變為止。

nxn
01.5
11.347826086956522
21.325200398950907
31.324718173999054

所以

x ≈ 1.32