反導函數與雅量

學妹拿了一張微積分考卷,白色的底子帶著黑色的題目與滿江紅的批閱。當她拿給我們看時,一位數學愛好者說:

y = cos x

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = -\frac{y'}{y}
\int \tan x\,dx = -\ln \left| y \right| = \ln \left| \sec x \right|.

我說:

y = sin x

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos x \sin x}{\cos^2 x} = \frac{yy'}{1 - y^2}

	\begin{align*}
		\int \tan x\,dx &= \int \frac{y}{1 - y^2} dy \\
			&= -\frac{\ln \left( 1 - y^2 \right)}2 \\
			&= -\frac{\ln \left( \cos^2 x \right)}2 \\
			&= \ln \left| \sec x \right|.
	\end{align*}
	

一位外號叫大怪客的同學緊接著說:

y = tan x,則 y′ = y2 + 1。


	\begin{align*}
		\int \tan x\,dx &= \int \frac{y}{y^2 + 1} dy \\
			&= \frac{\ln \left( y^2 + 1 \right)}2 \\
			&= \frac{\ln \left( \sec^2 x \right)}2 \\
			&= \ln \left| \sec x \right|.
	\end{align*}
	

我們不禁哄堂大笑,同樣的一題,每個人卻有不同的感覺。那位朋友連忙把考卷用 L 夾夾好,她覺得 tan 就是 tan,不是 sin/cos,也不是 y,更不是 sec2 的反導函數。

如果他能從老把戲解題,你又何必要他走向法國佬的新方法呢?你聽你的 Bronstein,他看他的 Moses,彼此都會有等量的 pass 的感受。人與人偶有摩擦,往往都是由於缺乏那分雅量的緣故;因此,為了避免學生來要分數,增進和諧,我們改考卷的時候必須努力培養雅量。

考前猜題

本次考試的計算複雜度為史上最低,請各位同學務必好好把握這次千載難逢拿高分的機會。此外,本文為了簡潔,省略符號積分的積分常數

牙醫系考前猜題,攝於

統計

都有官方資料了,還不看嗎?

反三角替代

本題是最難準備的一題。因為若在實數域的框架下,會有不同的狀況要討論。

積分有理函數

因為我們用 Logistic equation 的方式考了部份分式法,所以本題的被積函數的分母必為不可約的二次式。

求下列不定積分。

∫((4x + 5)/(x2 + 2x + 3))dx

(4x + 5)/(x2 + 2x + 3) = 2(2x + 2)/(x2 + 2x + 3) + 1/(x2 + 2x + 3)

u = x + 1

1/(x2 + 2x + 3) = 1/(u2 + 2)

∫(1/(u2 + 2))du = arctan(u/√2)/√2

∫(1/(x2 + 2x + 3))du = arctan((x + 1)/√2)/√2

∫((4x + 5)/(x2 + 2x + 3))dx = 2 ln(x2 + 2x + 3) + arctan((x + 1)/√2)/√2

積分無理函數

我們會考根號內是二次式的題目。在實數域的框架下,要分成三種狀況討論。

其中若領導係數為負,則該二次式必可約,否則根號內為恆負,無法在實數域上積分。

領導係數為正,可約

求下列不定積分。

∫(1/√(x2 + x − 2))dx

因式分解得

x2 + x − 2 = (x − 1) (x + 2)

x > 1

√(x2 + x − 2) = √(x − 1) √(x + 2)

y = √(x − 1) + √(x + 2)

Dx y = 1/(2(x − 1)) + 1/(2(x + 2)) = y/(2(x2 + x − 2))

∫(2/y)dy = ∫(1/(x2 + x − 2))dx = 2 ln y = 2 ln(√(x − 1) + √(x + 2)) = ln(2√(x2 + x − 2) + 2x + 1)

x > 1x < − 2

所以

承上題,求下列不定積分。

,則

x > 1

x < − 2

綜合得

經過了這一次的教訓,你大概會猜這種題目兩邊積出來的樣子會一樣。這是正確的,只是在實數域上不太容易證明。等到定義了複變函數的積分,再加上 branch cut 的觀念會好證許多。所以在考試等趕時間的狀況,其實解一邊就解出答案了。

領導係數為正,不可約

求下列不定積分。

x2 + 2x + 3 = (x + 1)2 + 2

承上題,求下列不定積分。

我們利用 cosh 是 sinh 的導函數,得

所以

我們利用平方差公式。

領導係數為負

求下列不定積分。

x2 + 2x + 2 = 3 − (x − 1)2

求下列不定積分。

三角函數的積分

本次只會考偶數型,而且次數不超過 8 次。

求下列不定積分。

小考考過了,大家應該輕車熟路吧!

分部積分

分部積分是符號積分的最後手段。明顯要採用分部積分的時機,是當被積函數是

  • 有理函數乘以對數或反三角函數,
  • 多項式乘以指數函數乘以三角函數。

本次考試的被積函數,將會是多項式、指數函數、三角函數三者中取二者相乘,但為了完整,我們還是討論所有狀況。

指數函數乘以三角函數

因為 sin, cos 通過微分或積分的運算後會變成對方,所以要分部積分二次就能獲得原積分式的一元一次方程,此時求解即可。

求下列不定積分。

多項式乘以指數函數乘以三角函數

我們思考一下多項式的微積分性質,再決定解題策略。

  • 多項式不斷地微分會一直降次,直到變成常數。
  • 多項式乘以 exp, cos, sin 後微分不會降次。
  • 多項式積分後會升次。

所以唯一合理的解題方式,是設多項式為所謂的 u,剩下的當 dv

求下列不定積分。

反正到最後,ex cos xex sin x 都要積分,乾脆現在先積個痛快。

接著再進行 2 次分部積分。

Logistic equation

給定一個初值問題

y′(t) = 0.0003 y(t) (2000 − y(t))

y(0) = 800

y(3)

Logistic equation 一定可分離變數,再積分有理函數就可獲得通解。

其中 c 是積分常數。接著,我們進行部份分式分解

逐項積分得到通解

此時我們就可以由初始值求取積分常數了。代入 t = 0y = 800

我們已經有長得不錯的特解,只要代入 t = 3 就是答案了。

歐拉法

給定一個初值問題

以歐拉法,用 0.1 的步長,求 y(1) 的近似值。

歐拉法數值方法,所以通常只在解析解不明顯或無法取得時才派上用場。但考試歸考試,所以還是會考出像本題這樣的題目。

歐拉法的精度不高,但計算成本很低,因此在重量不重質的物理模型堪用;在精度要求較高的情況下,會使用龍格–庫塔法。然而,在物理模擬與電玩等以牛頓運動方程為依歸的系統中,韋爾萊積分比較適合。PhET 的行星模型就是用韋爾萊積分跑的。

本題是常係數齊次線性微分方程,除了有明顯的解析解外,進行歐拉法的成本也特別低。

y(t + 0.1) ≈ y(t) + 0.1 y′(t) = 1.2 y(t)

y(t + 1) ≈ 1.210 y(t)

y(1) ≈ 1.210 = 6.1917364224

誤差

本題的精確解為

y(t) = e2t

y(1) = e2 ≈ 7.38905609893065

絕對誤差為

1.210 − e2 ≈ −1.19731967653065

相對誤差為

e−2 (1.210 − e2) ≈ −16.20395975480451%

一般狀況

一般而言,歐拉法等數值方法其實主要用在無解析解的狀況,例如

以歐拉法,用 0.1 的步長,求 y(1) 的近似值。

此時就真的只能迭代 10 次了。我們似乎不考這種狀況,所以詳解就不寫了。

2013 期末小考

本文以牙醫系的題目為主。醫學系的第 1 題同 2011 年期末考的第 7 題;第 2 題同 2011 年期末考的第 5 題

指數替代

Find ∫ (ex / (4 + 9e2x)) dx .

被積函數是指數函數的初等表達式,所以設 y = ex。此時 y′ = ex = y,所以

dx = dy / y

我們把題目簡化了。

其中 c 是積分常數。

三角函數的積分

Find .

被積函數是三角函數的偶數次,所以用倍角公式化約(reduce)三角函數。

展開後,很明顯

其中 c1 是積分常數。原地剩下的,仍然是三角函數的偶數次。

很明顯地,

其中 c2c3 是積分常數。原地又剩下三角函數的偶數次。

我們知道

其中 c4 是積分常數。設 c5 = c3 + c4

c6 = c3c2 + (c5 / 2)

c7 = c1 + (c6 / 4)

c = c7 / 32

考試的時候當然不必寫得這麼雜。這裡為了演示,才鉅細靡遺地寫出每個細節。

分部積分

Find .

這一題雖然可以直接分部積分,但是設 y = 2x 會好算很多。

我們開始進行分部積分。

c1 為積分常數。

c = 3c1 / 4

無理函數的積分

Find .

5 ≤ x ≤ 155x − 1 ≥ 0。所以此時

,原因請見無理函數的積分

有理函數的積分

Integrate .

Hermite reduction

U = x − 1V = x2 + 4。此時 UV′ = 2x2 − 2x。我們先做 UVV 的輾轉相除法。

UV′ = 2V − 2x − 8

所以

2x + 8 = 2VUV(*)

2V = (x − 4) (2VUV′) + 40

所以

40 = (x − 4) UV′ − (2x − 10) V(†)

A = 2x3 + 5x2 + 16x

A / (1 − 2) = (−2x − 5) V − 8x + 20

此時我們利用 (*)(†),以 UVV 表達 −8x + 20

−8x + 20 = −4 (2x + 8) + 52

接下來我們進行部份分式分解。

c 為積分常數。

數值積分

Evaluate using the Simpson’s rule with n = 6.

.

2012 教材彙整

事前不知道醫三的課業這麼繁忙,所以今年無法如期出版新的微積分教材。在此我整理去年的教材,希望能方便大家取用。如有訛誤敬請不吝指正。

去年的影音講解都在這裡

本次 () 醫學系期末考的範圍為微積分全部;牙醫系從積分開始,且要考統計,但不考微分方程。

講義

  1. 微積分的基石
  2. 微分
  3. 微分的應用
  4. 積分
  5. 符號積分
  6. 有理函數的積分
  7. 無理函數的積分
  8. 數值積分
  9. 微分方程

補充資料

上課實況

符號積分,攝於
微分、有理函數的積分,攝於

有理函數的積分

本段只作說明用途,所以符號不是用得很嚴謹。

微分代數的劉維爾定理,我們可以推論出有理函數反導函數若為初等函數,則必為有理函數加上有理函數的對數線性組合。意即對於有理函數 f,在代數閉包存在一群有理函數 gk 與有理函數 h 使得

c積分常數,則

有經驗的同學也許會納悶為何沒有 arctan。實數的代數閉包是複數,而在複數域上,arctan 可以由 ln 表達。我們利用這個原則分支

我們喜歡使用很少課本提及的 Hermite reduction 是因為它可以預先取出反導函數的有理部,並且讓剩下的被積函數分母為 squarefree 多項式。這樣比單單使用部份分式法快上許多。

例題 1

本題取自 2011 期末考。

求下列不定積分。

傳統作法

我們先預想部份分式分解後的結果。

其中 A, B, C, D, E 為待定常數。

A 算是最容易算出來的。這是二種作法的共同步驟,所以不分析成本。

接下來進行有點崩潰的一連串的運算。

部份分式分解完成。

我們分析一下成本。

  • 展開 57 (x2 + 4)2 + x2 + 16x
  • −57x4 − 287x2 + 2704x − 912 除以 x − 3
  • −57x3 − 171x2 − 800x + 304 除以 x2 + 4

接著我們逐項積分。

我們利用 Dx (x2 + 4) = 2x

θ = arctan(x/2),使得 x = 2 tan θ

還記得三角函數的積分嗎?

其中 c 是積分常數。接下來,我們要把 θ 換回 x 了。還記得正切半角公式嗎?

終於可以合併囉!原式等於

Hermite reduction

U = x − 3,V = x2 + 4。我們開始進行輾轉相除法。取 UV′ 除以 V

UV′ = 2V − 6x − 8

此時我們也知道

6x + 8 = 2VUV(*)

再以 V 除以 2VUV′ 得

18V = (3x − 4) (2VUV′) + 104

所以

104 = (3x − 4) UV′ − (6x − 26) V(†)

至此,我們希望能把 A = x2 + 16x 寫成 UV′ 和 V 的線性組合,即

其中 BC 是多項式。我們先將 A 除以 V 獲得一次以內的餘式,再以 (*)(†) 表達餘式。

我們算出了

有理部已經抓出來了,因為

接著這只是一次式的運算。

我們已經知道這個積分的有理部與超越部了。雖然好像執行了很多次多項式的運算,但是因為次數控制得很低,所以成本較低。

分解部份分式。

因為 x2 + 4 = (x + 3) (x − 3) + 13,所以

綜合諸式得

逐項積分。

最後得到相同的答案。

例題 2

求下列不定積分。

Hermite reduction 專門處理這種題目。設 U = (x − 1) (x − 2)2V = x − 3。

UV′ = (x2 − 2x + 2) V + 2

我們得到了較簡單的子問題。這回,我們設 U = x − 1,V = (x − 2) (x − 3)。

UV′ = 2V + 3x − 7

9V = (3x − 8) (UV′ − 2V) − 2

2 = (3x − 8) UV′ + (7 − 6x) V

為了簡潔,我們設 2A = 2x4 + 6x3 − 235x2 + 562x − 338。

369x − 664 = 123 (3x − 7) + 197

綜合得原式等於

如果需要整理有理式的話,就寫做

我們已經完成了 Hermite reduction,接著進行部份分式分解。因為分母已經分解好了,所以我們直接計算每項的係數。

所以設 c 為積分常數,原不定積分為

無理函數的積分

求下列不定積分。

y = arsinh x. 此時 sinh y = x, , dx = cosh y dy.

c 為積分常數。

沙盒

字型測試

國際化

Whitney, Γουίτνεϊ, and Уитни

MathJax

本站支持開放標準,對 Firefox 顯示 MathML。但是它的字型處理不夠完美(謎:是你有潔癖!),因此我在 CSS 中動了些手腳。

LaTeX 源碼

\[ \varnothing = \rm V \backslash \rm V \]
\[ e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta \]
\[ a \ngeq b \ngeqq c \]

Sophomore’s dream

證明

證明的關鍵在於:

  • 寫下 xx = exp(−x log x)
  • exp冪級數展開 exp(−x log x)
  • 逐項積分。
  • 換元積分

xx 展開為

逐項積分得

接著我們進行換元。設 y = −(n + 1) log x,因此 。所以

Γ 函數與階乘的關係

諸項相加並設 k = n + 1 即得原式